Se eu tiver um vetor de

Meu objetivo final é ser capaz de gerar um vetor de tamanho de variáveis ​​aleatórias correlacionadas de Bernoulli. Uma maneira de fazer isso é usar a abordagem Gaussian Coupla. No entanto, a abordagem Gaussian Coupla apenas me deixa com um vetor:$N$

Suponha que eu tenha gerado modo que a correlação comum entre eles seja . Agora, como posso transformá-los em um novo vetor de ou 's? Em outras palavras, eu gostaria de:$(p_1, \ldots, p_N)$0 $\rho$$0$$1$

mas com a mesma correlação .$\rho$

Uma abordagem que pensei foi atribuir uma regra de corte rígido, de modo que se , então deixe e se , então deixe .X i = 0 p i ≥ 0,5 X i = $p_i < 0.5$$X_i = 0$$p_i \geq 0.5$$X_i = 1$

Isso parece funcionar bem em simulações, pois mantém a estrutura de correlação, mas é muito arbitrário para mim qual valor de corte deve ser escolhido além de .$0.5$

Outra maneira é tratar cada como uma variável aleatória de Bernoulli com probabilidade de sucesso e obter uma amostra dela. No entanto, essa abordagem parece causar perda de correlação e, em vez de , posso obter ou .p i ρ $X_i$$p_i$$\rho$$\frac{\rho}{2}$$\frac{\rho}{3}$

Alguém tem alguma opinião ou opinião sobre isso? Obrigado.

Não compreendo a Cópula Gaussiana o suficiente para saber qual é o problema. Mas eu encontrei uma maneira de gerar vetores Bernoulli correlacionados.

Seguindo https://mathoverflow.net/a/19436/105908, se usarmos um conjunto de vetores fixos e um vector aleatório na unidade de esfera u , podemos transformar u em binário X onde X i = ( u ⋅ v i > 0 ) . Nesta configuração, c o r ( X i , X j ) = π - 2 * θ ( i , $v_1 ... v_n$$u$$u$$X$$X_i = (u \cdot v_i > 0)$ ondeθ(i,j)é o ângulo entrevievj.$cor(X_i,X_j) = \frac{\pi - 2 * \theta(i,j)}{\pi}$$\theta(i,j)$$v_i$$v_j$

Como encontrar matriz adequada para produzir uma matriz de correlação desejada R ? A condição angular é convertida em V V T = c o s ( - π R - $V = |v_1 ... v_n|$$R$e, portanto, podemos encontrarVcom decomposição de Cholesky.$VV^T = cos(-\frac{\pi R - \pi}{2})$$V$

Um código de exemplo em R é o seguinte:

#Get a simple correlation matrix 
N = 3
cor_matrix <- matrix(c(1,0.5,0.8,0.5,1,0.3,0.8,0.3,1), N, N)

#Calculate the vectors with desired angles
vector_matrix <- chol(cos( (pi * cor_matrix - pi) * -0.5))

#You can generate random unit vectors by normalizing a vector 
#of normally distributed variables, note however that the normalization
#does not affect the sign of the dot product and so we ignore it
num_samples <- 10000
normal_rand <- matrix(rnorm(num_samples * N), num_samples, N)

#Generate the target variables
B <- (normal_rand %*% vector_matrix) > 0

#See for yourself that it works
cor(B)  
cor(B) - cor_matrix 

Obrigado @ jakub-bartczuk por vincular à pergunta do MO - eu não encontraria isso sozinho.

$X_i \sim Bernoulli(0.5)$