Teoria por trás do teste se

Suponha que , onde seja conhecido. Usando esses dados, desejamos testar se , isto é, se a média é um número racional.$X_i \stackrel{\mbox{i.i.d.}}{\sim} \mathcal{N} (\mu, \sigma^2)$$\sigma^2$$\mu \in \mathbb{Q}$$\mu$

Parece intuitivamente claro que não podemos fazer isso, pois qualquer ruído será muito intenso. Eu imagino que qualquer teste terá taxa de erro tipo II e taxa de erro tipo I ou vice-versa. Mas não entendo como fazer afirmações teóricas sobre esse problema de teste de hipóteses. Como esse problema se encaixa em uma estrutura mais geral que ilustra quando o teste é "difícil"?$\beta = 0$$\alpha = 1$

Sua intuição está correta: quando você tiver um conjunto nulo para a média densa em relação ao espaço total, não poderá diferenciar os conjuntos nulo e alternativo com dados contínuos. Isso ocorre porque, para qualquer valor médio na hipótese alternativa, sempre podemos obter um que seja "arbitrariamente próximo" no conjunto nulo. Portanto, nunca deve haver nenhuma evidência para a hipótese alternativa.

Para obter uma demonstração formal desse resultado, você precisa passar pelos movimentos de construir isso como um teste de hipótese composto. Isso é um pouco complicado, já que você precisa argumentar sobre algumas estatísticas de teste e existem algumas objeções plausíveis aqui.

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Construção formal do teste clássico de hipóteses: Para este teste, as hipóteses são:

$$\begin{equation} \begin{aligned} H_0 &: \mu \in \mathbb{Q}, \\[4pt] H_A &: \mu \notin \mathbb{Q}. \end{aligned} \end{equation}$$

O primeiro problema que você encontra é a construção de uma estatística de teste. A estatística da razão de verossimilhança (LR) para esse problema é sempre igual a um, pois os racionais são densos nos reais. Nós temos:

$$\sup_{\mu \in \mathbb{Q}} \sup_{\sigma >0} \prod_{i=1}^n \text{N}(x_i | \mu, \sigma^2) = \Big( \frac{n}{2 \pi \sum x_i^2} \Big)^{n/2} \exp \Big( - \frac{n}{2} \Big) = \sup_{\mu \notin \mathbb{Q}} \sup_{\sigma >0} \prod_{i=1}^n \text{N}(x_i | \mu, \sigma^2),$$

de modo que a proporção desses supremos é a unidade. Isso significa que a estatística LR padrão falha em servir como uma medida de evidência para as hipóteses e, portanto, precisamos de uma estatística de teste personalizada.

Agora, para essas hipóteses, a classificação ordinal da evidência cai em apenas duas categorias: se a média da amostra é racional (o que ocorre com probabilidade zero), essa é uma evidência maior para a hipótese nula; se a média da amostra é irracional (o que ocorre com probabilidade 1), essa é uma evidência maior para a hipótese alternativa. Portanto, a estatística de teste apropriada para o teste é , com valores mais altos deste estatística do teste (indicador) que constitui maior evidência para a alternativa.$T \equiv T(X_1, ..., X_n) \equiv \mathbb{I}(\bar{X} \notin \mathbb{Q})$

Como é contínuo, temos em todos os valores de parâmetro (isso decorre do fato de os racionais terem Lebesgue medir zero ). Isso significa que a estatística de teste tem a mesma distribuição, independentemente dos valores dos parâmetros.$\bar{X} \sim \text{N}(\mu, \sigma^2 /n)$$\mathbb{P}(T = 0 | \mu, \sigma) = \mathbb{P}(\bar{X} \in \mathbb{Q} | \mu, \sigma) = 0$

Se observarmos (ou seja, a média da amostra é irracional), o valor de p para o teste é:$\bar{x} \notin \mathbb{Q}$

$$p \equiv \mathbb{P}(T(\bar{X}) \geqslant t(\bar{x}) | H_0) = \mathbb{P}(T \geqslant 1 | \mu \in \mathbb{Q}) = 1.$$

Se observarmos (ou seja, a média da amostra é racional), o valor p para o teste é:$\bar{x} \in \mathbb{Q}$

$$\begin{equation} \begin{aligned} p \equiv \mathbb{P}(T(\bar{X}) \geqslant t(\bar{x}) | H_0) &= \mathbb{P}(T \geqslant 0 | \mu \in \mathbb{Q}) = 1. \end{aligned} \end{equation}$$

Portanto, vemos que, mesmo com uma estatística de teste personalizada que tenta diferenciar as hipóteses, nunca obtemos nenhuma evidência contra o nulo. Isso é intuitivamente razoável, pois para qualquer valor médio na hipótese alternativa, sempre podemos obter um que seja "arbitrariamente próximo" no conjunto nulo.