Distribuição binomial em que o número de experimentos é distribuído binomialmente

Na minha configuração,

• tem $m$ ensaios.
• Cada tentativa tem uma probabilidade $q$ de ser selecionado.

• $N \leq m$ é o número de tentativas selecionadas
  

  $$\rightarrow N \sim \text{Bin}(q, m)$$

• Para cada um dos $N$ ensaios selecionados, a probabilidade de sucesso é $p$

• $K\leq N$ é o número de tentativas bem-sucedidas
  $$\rightarrow (K|N) \sim \text{Bin}(p, N)$$

Eu já derivou $E[K] = qmp$e $Var(K)= qmp(1-p) + p^2 m q(1-q)$

No entanto, estou preso na derivação de $cov(K, N)$. Agradeço qualquer ajuda para resolver isso.

Usando a lei da covariância total ,

$$\begin{align} \operatorname{Cov}(K,N) &=E\operatorname{Cov}(K,N|N)+\operatorname{Cov}(EK|N,EN|N) \\&=E 0+\operatorname{Cov}(pN,N) \\&=0+p\operatorname{Var}(N) \\&=pmq(1-q). \end{align}$$