A prova de que funções geradoras de momento determinam exclusivamente as distribuições de probabilidade

O texto de Wackerly et al. Afirma esse teorema "Let e denotam as funções geradoras de momento das variáveis ​​aleatórias X e Y, respectivamente. Se ambas as funções geradoras de momento existem e para todos os valores de t, X e Y têm a mesma distribuição de probabilidade ". sem uma prova dizendo que está além do escopo do texto. Scheaffer Young também tem o mesmo teorema sem uma prova. Não tenho uma cópia de Casella, mas a pesquisa de livros do Google não pareceu encontrar o teorema.$m_x(t)$$m_y(t)$$m_x(t) = m_y(t)$

O texto de Gut parece ter um esboço de uma prova , mas não faz referência aos "resultados conhecidos" e também requer conhecer outro resultado cuja prova também não é fornecida.

Alguém sabe quem originalmente provou isso e se a prova está disponível online em algum lugar? Caso contrário, como alguém preencheria os detalhes dessa prova?

Caso não me perguntem, isso não é uma pergunta de lição de casa, mas eu poderia imaginar que isso possivelmente seja o dever de casa de alguém. Fiz uma sequência de cursos com base no texto de Wackerly e fiquei pensando sobre essa prova há algum tempo. Então imaginei que era hora de perguntar.

A prova geral disso pode ser encontrada em Feller (Uma Introdução à Teoria das Probabilidades e Suas Aplicações, Vol. 2) . É um problema de inversão envolvendo a teoria das transformadas de Laplace. Você notou que o mgf tem uma semelhança impressionante com a transformada de Laplace? Para uso da Transformação de Laplace, você pode ver Widder (Calcus Vol I) .

Prova de um caso especial:

Suponha que X e Y sejam variáveis ​​aleatórias, ambos tendo apenas valores possíveis em { }. Além disso, suponha que X e Y tenham o mesmo mgf para todos t: n ∑ x = 0 e t x f X ( x ) = n ∑ y = 0 e t y f Y ( y ) Para simplificar, vamos deixar s = e te definiremos c i = $0, 1, 2,\dots, n$

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$$ $s = e^t$ para i = 0 , 1 , … , n .$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$$i = 0, 1,\dots,n$

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$$ $$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$$ $c_0, c_1,\dots,c_n$$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$$i=0, 1,\dots,n$

$f_X(i)=f_Y(i)$$i=0,1,\dots,n$

$X$$Y$$X$$Y$

O teorema que você está discutindo é um resultado básico na teoria da probabilidade / medida. As provas provavelmente seriam encontradas em livros sobre probabilidade ou teoria estatística. Encontrei o resultado análogo para funções características dadas em Hoel Port e Stone, pp 205-208

Tucker pp 51-53

e Chung pp 151-155 Esta é a terceira edição. Tenho a segunda edição e refiro-me aos números de página da segunda edição publicada em 1974.

A prova para o mgf que achei mais difícil de encontrar, mas você pode encontrá-la no livro de Billingley "Probability and Measure", pp. 342-345. Na página 342, o teorema 30.1 fornece o teorema que responde ao problema do momento. Na página 345 Billingsley declara o resultado que, se uma medida de probabilidade tem uma função geradora de momento M (s) definida em um intervalo em torno de 0, a hipótese do Teorema 30.1 é satisfeita e, portanto, a medida é determinada por seus momentos. Mas esses momentos s são determinados por M (s). Portanto, a medida é determinada por sua função geradora de momento se M (s) existe em uma vizinhança de 0. Portanto, essa lógica, juntamente com a prova que ele fornece para o Teorema 30.1, prova o resultado. Billingsley também comenta que a solução para o exercício 26.

$X$$M_X(t)=Ee^{tX}$

$\delta>0$$M_X(t) = M_Y(t) < \infty$$t \in (-\delta,\delta)$$F_X(t) = F_Y(t)$$t \in \mathbb{R}$

Para provar que a função de geração de momentos determina a distribuição, há pelo menos duas abordagens:

• $M_X$$(-\delta,\delta)$$X$$F_X$$(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$, which are in turn determined by $M_X$. This proof can be found in Section 30 of Billingsley, P. Probability and Measure.

• To show that $M_X$ is analytic and can be extended to $(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$, so that $M_X(z)=Ee^{zX}$, so in particular $M_X(it)=\varphi_X(t)$ for all $t\in\mathbb{R}$, and then use the fact that $\varphi_X$ determines $F_X$. For this approach, see Curtiss, J. H. Ann. Math. Statistics 13:430-433 and references therein.

At undergraduate level, almost every textbook works with the moment generating function and states the above theorem without proving it. It makes sense, because the proof requires far more advanced mathematics than undergraduate level allows.

At the point when students have all the tools needed in the proof, they also have the maturity to work with the characteristic function $\varphi_X(t)=Ee^{itX}$ instead. Almost every graduate textbook takes this path, they prove that the characteristic function determines the distribution and basically ignore moment generating functions altogether.