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Usando a notação um pouco mais explícita , onde é um número real, não uma variável aleatória. O conjunto no qual é um caminho em forma de L com dois segmentos semi-abertos: um subindo direto do ponto e outro indo direto para a direita a partir desse mesmo ponto. É claro que na perna vertical, na perna horizontal .m min ( X , Y ) = m ( m , m ) x < y x > yP(X<Y|min(X,Y)=m)mmin(X,Y)=m(m,m)x<yx>y
Dada essa intuição geométrica, é fácil reescrever o problema de uma forma equivalente, onde no numerador temos apenas a perna vertical onde no denominador temos a soma das duas pernas.x<y
P( X< Y| min(X, Y) ) = P( m < Y| X= m )P( m < Y| X= m ) + P( m < X| Y= m )(1)
Então agora precisamos calcular duas expressões da forma . Tais probabilidades condicionais da distribuição normal bivariada sempre têm uma distribuição normal com os parâmetros:N (P( m < X| Y= m )N( μX| Y= m, s2X| Y= m)
μX| Y= m= μ1 1+ σ12σ22( m - μ2)2)
s2X| Y= m= σ11- σ212σ22(3)
Observe que na definição original do problema, refere a elementos da matriz de covariância, ao contrário da convenção mais comum de usar para o desvio padrão. Abaixo, acharemos mais conveniente usar para a variância para o desvio padrão da distribuição de probabilidade condicional. σ s 2 sσeu jσs2s
Conhecendo esses dois parâmetros, podemos calcular a probabilidade de partir da função de distribuição cumulativa.m < X
P( m < X| Y= m ) = Φ ( μX; Y= m- msX; Y= m)4)
mutatis mutandis , temos uma expressão semelhante para . DeixeiP( Y> m | X= m )
zX| Y= m= μX; Y= m- msX; Y= m(5)
e
zY| X= m= μY; X= m- msY; X= m(6)
Em seguida, podemos escrever a solução completa de maneira compacta em termos dessas duas pontuações :z
Em (3) acho que o lado esquerdo deve ter um quadrado, porque é a variação condicional enquanto o desvio padrão é usado posteriormente.
Yves
Você está certo @Yves e acredito que minhas edições recentes corrigiram o problema. Obrigado.
olooney
@olooney, obrigado por esta resposta. Eu posso seguir a derivação e parece correta. No entanto, tentei verificar (1) e (7) em uma simulação e os resultados foram bem diferentes. Você pode ver o meu código R aqui gist.github.com/mikeguggis/d041df05565f63f8be2c6c51f5cf8961
@olooney, boa captura. Ainda não consigo entender por que as duas estimativas baseadas em simulação não coincidem (linhas 30 a 32 no meu código).
mike
1
A pergunta pode ser reescrita usando uma versão modificada do teorema de Bayes (e um abuso de noção para )Pr
Pr ( X< Y| min(X, Y) = m )= Pr ( m i n ( X, Y) = m | X< Y) Pr ( X< Y)Pr ( m i n ( X, Y) = m | X< Y) Pr ( X< Y) + Pr ( m i n ( X, Y) = m | X≥ Y) Pr ( X≥ Y)= Pr ( X< Y, m i n ( X, Y) = m )Pr ( X< Y, m i n ( X, Y) = m ) + Pr ( X≥ Y, m i n ( X, Y) = m ).
Defina como o PDF bivariado de e , e . EntãofX, YXYϕ ( x ) = 12 π√e x p ( - 12x2)Φ ( x ) = ∫x- ∞ϕ ( t ) dt
Pr ( X< Y, m i n ( X, Y) = m )= Pr ( X= m , Y> m )= ∫∞mfX, Y( m , t ) dt
e
Pr ( X≥ Y, m i n ( X, Y) = m )= Pr ( X≥ m , Y= m )= ∫∞mfX, Y( t , m ) dt
Usando normalidade e a definição de probabilidade condicional, os integrandos podem ser reescritos como
fX, Y( m , t ) = fY| X( t ) fX( m ) = 1σY| X----√ϕ ( t - μY| XσY| X----√) 1σ11---√ϕ ( m - μ1 1σ11---√)
e
fX, Y( t , m ) = fX| Y( t ) fY( m ) = 1σX| Y----√ϕ ( t - μX| YσX| Y----√) 1σ22---√ϕ ( m - μ2σ22---√) .
Este formulário final é muito semelhante ao resultado que o @olooney chegou. A diferença é que suas probabilidades não são ponderadas pelas densidades normais.
Um script R para verificação numérica pode ser encontrado aqui
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Usando a notação um pouco mais explícita , onde é um número real, não uma variável aleatória. O conjunto no qual é um caminho em forma de L com dois segmentos semi-abertos: um subindo direto do ponto e outro indo direto para a direita a partir desse mesmo ponto. É claro que na perna vertical, na perna horizontal .m min ( X , Y ) = m ( m , m ) x < y x > yP(X<Y|min(X,Y)=m) m min(X,Y)=m (m,m) x<y x>y
Dada essa intuição geométrica, é fácil reescrever o problema de uma forma equivalente, onde no numerador temos apenas a perna vertical onde no denominador temos a soma das duas pernas.x<y
Então agora precisamos calcular duas expressões da forma . Tais probabilidades condicionais da distribuição normal bivariada sempre têm uma distribuição normal com os parâmetros:N (P( m < X| Y= m ) N( μX| Y= m, s2X| Y= m)
Observe que na definição original do problema, refere a elementos da matriz de covariância, ao contrário da convenção mais comum de usar para o desvio padrão. Abaixo, acharemos mais conveniente usar para a variância para o desvio padrão da distribuição de probabilidade condicional. σ s 2 sσeu j σ s2 s
Conhecendo esses dois parâmetros, podemos calcular a probabilidade de partir da função de distribuição cumulativa.m < X
mutatis mutandis , temos uma expressão semelhante para . DeixeiP( Y> m | X= m )
e
Em seguida, podemos escrever a solução completa de maneira compacta em termos dessas duas pontuações :z
Com base no código de simulação fornecido pelo autor da pergunta, podemos comparar este resultado teórico com os resultados simulados:
fonte
A pergunta pode ser reescrita usando uma versão modificada do teorema de Bayes (e um abuso de noção para )Pr
Defina como o PDF bivariado de e , e . EntãofX, Y X Y ϕ ( x ) = 12 π√e x p ( - 12x2) Φ ( x ) = ∫x- ∞ϕ ( t ) dt
e
Usando normalidade e a definição de probabilidade condicional, os integrandos podem ser reescritos como
e
Onde
e
portanto
Este formulário final é muito semelhante ao resultado que o @olooney chegou. A diferença é que suas probabilidades não são ponderadas pelas densidades normais.
Um script R para verificação numérica pode ser encontrado aqui
fonte