Limites da diferença de variáveis ​​aleatórias correlacionadas

Dadas duas variáveis ​​aleatórias altamente correlacionadas $X$ e $Y$ , gostaria de limitar a probabilidade de que a diferença $|X - Y|$excede alguma quantidade:

$$P( |X - Y| > K) < \delta$$

Suponha por simplicidade que:

• Sabe-se que o coeficiente de correlação é "alto", digamos: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$

• $X,Y$ são zero média:$\mu_x = \mu_y = 0$

• $-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (ou $0 \leq x_i, y_i \leq 1$ se for mais fácil)

• (Se isso facilitar as coisas, digamos que tenham variação idêntica: σ 2 X = σ 2 Y )$X,Y$$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$

Não tenho certeza de quão viável é derivar um limite para a diferença, dada apenas as informações acima (eu certamente não consegui chegar a lugar nenhum). Uma solução específica (se houver), restrições adicionais obrigatórias a serem impostas às distribuições ou apenas aconselhamento sobre uma abordagem seria ótima.

Mesmo sem essas suposições simplificadoras, é possível obter um limite combinando algumas das ferramentas usuais:

• A variância da diferença de duas variáveis ​​correlacionadas . Isso nos permite transformar um problema de duas variáveis ​​em um problema univariado.
• Desigualdade de Chebyshev . Isso limita a probabilidade de exceder um determinado valor.

Em alguns detalhes:

$$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$$

$$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$$

$$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$$

De acordo com a desigualdade de Chebyshev, para qualquer variável aleatória :$Z$

$$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$$

Então (e usando esse :$\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

$$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$$

Podemos usar as suposições simplificadoras propostas para obter uma expressão mais simples. Quando:

$$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$$ $$\mu_x = \mu_y = 0$$ $$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$$

Então:

$$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$$

E portanto:

$$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$$

$\epsilon$$=1-\epsilon$$\geq 1-\epsilon$