Existem outras distribuições além de Cauchy para as quais a média aritmética de uma amostra segue a mesma distribuição?

11

Se segue uma distribuição Cauchy, também segue exatamente a mesma distribuição que ; veja esta discussão .XY=X¯=1ni=1nXiX

  • Esta propriedade tem um nome?

  • Existem outras distribuições para as quais isso é verdade?

EDITAR

Outra maneira de fazer esta pergunta:

seja uma variável aleatória com densidade de probabilidade .Xf(x)

deixar , onde indica a observação de ordem i .Y=1ni=1nXiXiX

Y em si pode ser considerado como uma variável aleatória, sem condicionamento em quaisquer valores específicos de .X

Se segue uma distribuição de Cauchy, então a função densidade de probabilidade de éXYf(x)

Existem outros tipos de funções de densidade de probabilidade (não triviais *) para que resultam em tendo uma função de densidade de probabilidade de ?f(x)Yf(x)

* O único exemplo trivial em que consigo pensar é no delta do Dirac. ou seja, não é uma variável aleatória.

Chechy Levas
fonte
Seu título faz pouco sentido, porque o "valor esperado de uma amostra" é um número. Você quer dizer a média aritmética da amostra? A pergunta também é vaga: por "distribuição" você quer dizer uma distribuição específica ou - como é sugerido pelo termo "Cauchy" - uma família de distribuições? Isso não é uma sutileza menor: a resposta muda completamente dependendo do que você quer dizer. Edite sua postagem para esclarecê-la.
whuber
@whuber, adicionei uma segunda parte à pergunta que, esperançosamente, restringe o leque de possíveis interpretações.
Chechy Levas
Obrigado; isso esclarece a maior parte. No entanto, existem respostas diferentes, dependendo se você corrige ou se deseja que esse resultado seja válido para todos os Se for o último, a condição no cf ou cgf é grave e leva a uma solução pronta. Se for o primeiro, potencialmente existem soluções adicionais. n n.
whuber
Eu estava pensando em todos os mas se alguém quiser fornecer uma análise de um fixo também, isso seria bem-vindo. nn
Chechy Levas

Respostas:

5

Essa não é realmente uma resposta, mas pelo menos não parece fácil criar esse exemplo a partir de uma distribuição estável. Precisamos produzir um rv cuja função característica seja a mesma que a de sua média.

Em geral, para um sorteio de identificação, o cf da média é

ϕX¯n(t)=[ϕX(t/n)]n
com o cf de um único rv Para distribuições estáveis ​​com o parâmetro de localização zero, temos onde A distribuição Cauchy corresponde a , , de modo que fato para qualquer parâmetro de escala .ϕX
ϕX(t)=exp{|ct|α(1iβsgn(t)Φ)},
Φ={tan(πα2)α12πlog|t|α=1
α=1β=0ϕX¯n(t)=ϕX(t)c>0

Em geral, Para obter , parece necessário, então mas

ϕX¯n(t)=exp{n|ctn|α(1iβsgn(tn)Φ)},
ϕX¯n(t)=ϕX(t)α=1
ϕX¯n(t)=exp{n|ctn|(1iβsgn(tn)(2πlog|tn|))}=exp{|ct|(1iβsgn(t)(2πlog|tn|))},
log|tn|log|t|
Christoph Hanck
fonte
Então, é justo dizer que, com base em sua análise, Cauchy é a única solução para a = 1?
Chechy Levas
1
Essa é a minha impressão a partir desses resultados, mas tenho certeza de que há pessoas com mais conhecimento por aqui através de distribuições estáveis.
Christoph Hanck
3
Você não precisa invocar a teoria das distribuições estáveis. Como é o cgf, sua equação é paraComo é uma função uniforme contínua e zero na origem, isso implica imediatamente que o germe de na origem éψ=logϕ
ψ(t/n)=ψ(t)/n
n=1,2,3,.ψψ|ct|.
whuber
Essa deveria ser a resposta aceita? Além de a única maneira de resolver isso é com , que (eu acho) é o delta do Dirac. α=1α=0
Chechy Levas