Localizando a distribuição do intervalo de amostras para uma população Beta

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Seja sejam variáveis ​​aleatórias de densidadeX1 1,X2,,Xn

f(x)=2(1 1-x)1 10 0<x<1 1

Estou tentando derivar a distribuição do intervalo de amostra .R=X(n)-X(1 1)

A maneira usual de resolver esses problemas é primeiro encontrar a densidade conjunta de tomando e depois encontrar a distribuição de como uma densidade marginal. Isso é bastante direto em geral, porque sabemos a distribuição conjunta de . Porém, para esse problema em particular, a integração para encontrar o pdf marginal é bastante difícil de avaliar manualmente.(R,S)S=X(1 1)R(X(1 1),X(n))

Para distribuições absolutamente contínuas, é facilmente mostrado através de uma mudança de variáveis ​​que a densidade da junta é dada por(R,S)

fR,S(r,s)=n(n-1 1)(F(r+s)-F(s))n-2f(s)f(r+s)1 1s<r+s

, onde é a função de distribuição da população.F

Então aqui eu tenho depois da simplificação

fR,S(r,s)=4n(n1)(r(22sr))n2(1s)(1r-s)1 10 0<s<r+s<1 1

Isso significa que o pdf de para deve serR0 0<r<1 1

fR(r)=0 01 1-rfR,S(r,s)ds=4n(n-1 1)rn-20 01 1-r(2-2s-r)n-2(1 1-s)(1 1-r-s)ds

Agora pelas partes

Eu=0 01 1-r(2-2s-r)n-2(1 1-s)(1 1-r-s)ds

observando que

d[(1s)(1rs)]=(2s+r2)ds

Ignorando alguns detalhes, recebo

I=[(1s)(1 1-r-s)(2-2s-r)n-1 12(1 1-n)]0 01 1-r+0 01 1-r(2-2s-r)n2(1 1-n)ds=(r-1 1)(2-r)n-1 12(1 1-n)-1 14(1 1-n)2-rrtndt=(r-1 1)(2-r)n-1 12(1 1-n)+1 14(n2-1 1)[rn+1 1-(2-r)n+1 1]

Pode não parecer, mas fazer isso manualmente e escrever cada passo levou um bom tempo.

Finalmente, recebo o pdf de comoR

fR(r)=4n(n-1 1)rn-2[(r-1 1)(2-r)n-1 12(1 1-n)+1 14(n2-1 1){rn+1 1-(2-r)n+1 1}]1 10 0<r<1 1

Honestamente, após a computação tediosa, não sei se quero verificar se isso se integra a ou não (sem o uso de software). Então, eu não sei se essa resposta faz sentido.1 1

Gostaria de conhecer algum procedimento alternativo para resolver o problema e, talvez, uma maneira mais eficiente. Eu acho que o método CDF resulta quase na mesma complexidade.

Teimoso
fonte
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Posso confirmar o mesmo resultado usando mathStatica (por isso estou certo de que seu trabalho está correto).
wolfies
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Sobre a única simplificação que posso sugerir - e é realmente minúscula - é reconhecer que a operação preserva o intervalo enquanto converte a densidade em Isso torna as integrações um pouco mais fáceis. Expressões assintóticas estão prontamente disponíveis, no entanto. X1 1-X2xEu(0 0<x<1 1).
whuber

Respostas:

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edit: por favor, pare de votar neste comentário, era um comentário e não deveria ter sido aceito como resposta pelo OP. Por favor, leia os comentários e leia a literatura se você não estiver familiarizado com esta técnica. Parece que a relação entre a distribuição uniforme e a distribuição beta de suas estatísticas ordenadas não é ensinada / bem compreendida.

Acho que você percebeu que o intervalo é distribuído como uma forma da densidade beta? Converta em Uniforme se você não gosta de trabalhar com o Beta. Meu conselho é não integrá-lo, apenas pense em qual forma isso se assemelha; ele pode não ter um formulário fechado se envolver a função beta incompleta, mas não for realmente necessário encontrar a distribuição.

Rosalie
fonte
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Acredito que seu conselho esteja incorreto - talvez seja baseado na leitura incorreta da pergunta. Se, depois de reler a pergunta, você acredita que sua abordagem está correta, prove que estou errado, fornecendo uma resposta explícita.
whuber
Por que você excluiu os comentários com os links para a resposta a esta pergunta? Pare de votar na minha resposta. E o OP não deveria ter aceitado esse comentário como resposta. Esta é literalmente a mesma pergunta que o link que eu postei. Seu conselho para preservar o intervalo é literalmente dividido pelo parâmetro de escala, para que você possa invocar o relacionamento entre as densidades Uniforme e Beta. Esta é uma distribuição Beta ... se você olhar para os links eu postei a sua muito óbvio
Rosalie
aqui está a página da Wikipédia para a distribuição beta ... "A distribuição beta tem uma aplicação importante na teoria da estatística de ordens. Um resultado básico é que a distribuição do k-ésimo de uma amostra de tamanho n de uma distribuição uniforme contínua tem um distribuição beta. [51] Este resultado está resumido em: você(k)~β(k, n + 1-k) A partir disso, e a aplicação da transformação integral de probabilidade, é possível derivar a distribuição de qualquer estatística de ordem individual de qualquer distribuição contínua. " en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution
Rosalie
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Obrigado - mas isso não aborda a questão, que diz respeito ao intervalo (que é uma combinação linear de estatísticas de pedidos correlacionados ) de uma distribuição subjacente específica. Como a pergunta deixa clara, uma fórmula exata para a distribuição do intervalo está disponível neste caso - mas a abordagem que você descreve não parece ser uma maneira legítima de derivar essa distribuição.
whuber
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Você comete o erro de supor que seus muitos rebaixadores não entendem esse material. Eu suspeito que sim, e independentemente de como você se sinta, você deve fazê-los como cortesia de assumir o mesmo. Eu reiteraria meu convite (no meu comentário original) para apoiar suas reivindicações com uma demonstração real de um resultado explícito, em vez de apenas fazer afirmações de que seu ponto de vista é "facilmente" mostrado.
whuber