Seja sejam variáveis aleatórias de densidadeX1 1,X2, ... ,Xn
f( x ) = 2 ( 1 - x )1 10 < x < 1
Estou tentando derivar a distribuição do intervalo de amostra .R =X( N )-X( 1 )
A maneira usual de resolver esses problemas é primeiro encontrar a densidade conjunta de tomando e depois encontrar a distribuição de como uma densidade marginal. Isso é bastante direto em geral, porque sabemos a distribuição conjunta de . Porém, para esse problema em particular, a integração para encontrar o pdf marginal é bastante difícil de avaliar manualmente.( R , S)S=X( 1 )R(X( 1 ),X( N ))
Para distribuições absolutamente contínuas, é facilmente mostrado através de uma mudança de variáveis que a densidade da junta é dada por( R , S)
fR , S( r , s ) = n ( n - 1 ) ( F( r + s ) - F( S ))n - 2f( s ) f( r + s )1 1s < r + s
, onde é a função de distribuição da população.F
Então aqui eu tenho depois da simplificação
fR , S( r , s ) = 4 n ( n - 1 ) ( r ( 2 - 2 s - r ))n - 2(1−s)(1−r−s)10<s<r+s<1
Isso significa que o pdf de para deve serR0 < r < 1
fR( r )=∫1 - r0 0fR , S( r , s)ds= 4 n ( n - 1 )rn - 2∫1 - r0 0( 2 - 2 s - r)n - 2( 1 - s ) ( 1 - r - s)ds
Agora pelas partesEu=∫1 - r0 0( 2 - 2 s - r)n - 2( 1 - s ) ( 1 - r - s)ds
observando que d[(1−s)(1−r−s)]=(2s+r−2)ds
Ignorando alguns detalhes, recebo
I=[(1−s)(1−r−s)(2−2s−r)n−12(1−n)]1−r0+∫1−r0(2−2s−r)n2(1−n)ds=(r−1)(2−r)n−12(1−n)−14(1−n)∫r2−rtndt=(r−1)(2−r)n−12(1−n)+14(n2−1)[rn+1−(2−r)n+1]
Pode não parecer, mas fazer isso manualmente e escrever cada passo levou um bom tempo.
Finalmente, recebo o pdf de comoR
fR( r ) = 4 n ( n - 1 )rn - 2[( r - 1 ) ( 2 - r)n - 12 ( 1 - n )+1 14 (n2- 1 ){rn + 1- ( 2 - r)n + 1} ]1 10 < r < 1
Honestamente, após a computação tediosa, não sei se quero verificar se isso se integra a ou não (sem o uso de software). Então, eu não sei se essa resposta faz sentido.1 1
Gostaria de conhecer algum procedimento alternativo para resolver o problema e, talvez, uma maneira mais eficiente. Eu acho que o método CDF resulta quase na mesma complexidade.
Respostas:
edit: por favor, pare de votar neste comentário, era um comentário e não deveria ter sido aceito como resposta pelo OP. Por favor, leia os comentários e leia a literatura se você não estiver familiarizado com esta técnica. Parece que a relação entre a distribuição uniforme e a distribuição beta de suas estatísticas ordenadas não é ensinada / bem compreendida.
Acho que você percebeu que o intervalo é distribuído como uma forma da densidade beta? Converta em Uniforme se você não gosta de trabalhar com o Beta. Meu conselho é não integrá-lo, apenas pense em qual forma isso se assemelha; ele pode não ter um formulário fechado se envolver a função beta incompleta, mas não for realmente necessário encontrar a distribuição.
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