Duas variáveis não correlacionadas não são necessariamente independentes, como é simplesmente exemplificado pelo fato de e não serem correlacionados, mas não independentes. No entanto, duas variáveis não correlacionadas e distribuídas em conjunto normalmente são garantidas como independentes. Alguém pode explicar intuitivamente por que isso é verdade? O que exatamente a normalidade conjunta de duas variáveis adiciona ao conhecimento da correlação zero entre duas variáveis, o que nos leva a concluir que essas duas variáveis DEVEM ser independentes?
correlation
normal-distribution
independence
joint-distribution
intuition
ColorStatistics
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X <- rnorm(n=10000); X2 <- X*X; cor(X[X>1],X2[X>1])
Respostas:
A função densidade de probabilidade conjunta (pdf) da distribuição normal bivariada é:f(x1,x2)=12πσ1σ21−ρ2−−−−−√exp[−z2(1−ρ2)],
Onde
Então eles são independentes.
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Normalidade articular de duas variáveis aleatóriasX,Y pode ser caracterizado de duas maneiras simples:
Para cada para,b de números reais (não aleatórios), aX+bY tem uma distribuição normal univariada.
Existem variáveis aleatóriasZ1,Z2∼i.i.d.N(0,1) e números reais a,b,c,d de tal modo que Xand Y=aZ1+bZ2=cZ1+dZ2.
É fácil mostrar que o primeiro deles segue do segundo. Que o segundo se segue do primeiro exige mais trabalho, e talvez eu o publique em breve. . .
Se o segundo for verdade, entãocov(X,Y)=ac+bd.
Se essa covariância for0, então os vetores (a,b), (c,d) são ortogonais entre si. EntãoX é um múltiplo escalar da projeção ortogonal de (Z1,Z2) para (a,b) e Y para (c,d).
Agora, junte o fato da ortogonalidade à simetria circular da densidade articular de(Z1,Z2), ver que a distribuição de (X,Y) deve ser igual à distribuição de duas variáveis aleatórias, uma das quais é um múltiplo escalar da projeção ortogonal de (Z1,Z2) no x eixo, ou seja, é um múltiplo escalar de Z1, e o outro é similarmente um múltiplo escalar de Z2.
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