Descrição geral
Um estimador eficiente (que tem variação de amostra igual ao limite Cramér – Rao) maximiza a probabilidade de estar próximo ao parâmetro verdadeiro ?
Digamos que comparemos a diferença ou diferença absoluta entre a estimativa e o parâmetro verdadeiro
A distribuição de para um estimador eficiente é estocástica dominante sobre a distribuição de para qualquer outro estimador imparcial?
Motivação
Estou pensando sobre isso por causa da pergunta Estimador que é ideal em todas as funções sensíveis de perda (avaliação), onde podemos dizer que o melhor estimador imparcial em relação a uma função de perda convexa também é o melhor estimador imparcial em relação a outra função de perda (De Iosif Pinelis, 2015, Caracterização dos melhores estimadores imparciais: arXiv preprint arXiv: 1508.07636 ). O domínio estocástico por estar próximo ao parâmetro verdadeiro parece ser semelhante a mim (é uma condição suficiente e uma afirmação mais forte).
Expressões mais precisas
A declaração da pergunta acima é ampla, por exemplo, que tipo de imparcialidade é considerada e temos a mesma métrica de distância para diferenças negativas e positivas?
Vamos considerar os dois casos a seguir para tornar a questão menos ampla:
Conjectura 1: Se é um estimador eficiente de média e mediana. Então, para qualquer estimador médio e sem vieses que e
Conjectura 2: Se é um estimador eficiente e isento de médias. Então, para qualquer estimador sem médios e
- As conjecturas acima são verdadeiras?
- Se as proposições são muito fortes, podemos adaptá-las para fazer funcionar?
O segundo está relacionado ao primeiro, mas elimina a restrição da imparcialidade da mediana (e, em seguida, precisamos juntar os dois lados ou a proposta seria falsa para qualquer estimador que tenha uma mediana diferente da estimada eficiente).
Exemplo, ilustração:
Considere a estimativa da média da distribuição de uma população (que se supõe distribuição normal) por (1) a mediana da amostra e (2) a média da amostra.
No caso de uma amostra de tamanho 5, e quando a verdadeira distribuição da população é isso se parece com
Na imagem, vemos que o CDF dobrado da média da amostra (que é um estimador eficiente para ) está abaixo do CDF dobrado da mediana da amostra. A questão é se o CDF dobrado da média da amostra também está abaixo do CDF dobrado de qualquer outro estimador imparcial.
Como alternativa, usando o CDF em vez de CDFs dobrados, podemos perguntar se o CDF de uma média maximiza a distância de 0,5 em cada ponto. Sabemos que
também temos isso quando substituímos pela distribuição de qualquer outro estimador médio e isento de mediana?
fonte
Pitman nearness
palavra - chave, não que eu ache esse critério particularmente sensível.Respostas:
Uma representação das diferenças para o cdf empírico do MLE torna mais claro:
Aqui está o código R correspondente:
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