O que Silverman (1981) quis dizer com 'largura de banda crítica'?

Na seleção de uma largura de banda para um estimador de densidade de kernel, a largura de banda crítica de acordo com o meu entendimento é:

"Para todo número k, onde 1<k<n, podemos encontrar a largura mínima, de h(k)modo que a estimativa da densidade do kernel tenha no máximo k máximos. Silverman chama esses h(k)valores de" larguras críticas ".

Não entendo intuitivamente esse conceito. Qualquer ajuda seria apreciada.

Obrigado!

Eu odeio animações em páginas da Web, mas esta pergunta pede uma resposta animada:

Estes são os KDEs para um conjunto de três valores (próximo de -2,5, 0,5 e 2,5). Suas larguras de banda variam continuamente, crescendo de pequenas a grandes. Veja como três picos se tornam dois e, finalmente, um.

Um KDE coloca uma pilha de "probabilidade" em cada ponto de dados. À medida que a largura de banda aumenta, a pilha "cai". Quando você começa com pequenas larguras de banda, cada valor de dados contribui com sua própria pilha discreta. À medida que as larguras de banda crescem, as pilhas se esmorecem, se fundem e se acumulam umas sobre as outras (a grossa linha azul), tornando-se uma única pilha. Ao longo do caminho, os máximos mudam descontinuamente do valor inicial de (assumindo que o kernel tenha um único máximo, que quase sempre é o caso) para A largura crítica para maxima é a primeira (menor) largura que reduz o KDE para uma curva com não mais que maxima.$n$$1.$$k$$k$

Se você tem uma largura de banda realmente ampla, terá um pico no seu KDE. Se você reduzir um pouco, ainda é um pico. Continue reduzindo até chegar ao ponto de alternância de adicionar um segundo pico. Essa largura de banda é .$h(1)$

Agora diminua ainda mais, até chegar à alternância entre dois picos e três. Isso é .$h(2)$

E assim por diante.

Em qualquer largura de banda entre e terá picos no seu KDE.$h(i-1)$$h(i)$$i$

Silverman queria um nome para esse conjunto de valores ; ele os chamou de largura de banda crítica .$h$

Isso aparece em seu teste de multimodalidade, por exemplo.