Não consigo entender por que a amostragem por rejeição funciona

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Eu quero gerar pontos de amostra em uma forma 2D arbitrária, por exemplo, um círculo centrado na origem com raio 1. A amostra de rejeição diz:{zi}

  • Olhada 2 variáveis aleatórias mais uniformes , e .[0,1]XY
  • Amostra e , você obtém e , digamos.XYxy
  • Teste se : x2+y21
    • se sim, .z=(x,y)
    • se não, faça uma amostra de e até que a condição seja satisfeita.XY

Por que isso funciona, ou seja, por que isso simula a amostragem de uma variável aleatória que é distribuída uniformemente por um disco?Z

ToniAz
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@ AdamO Acho que o WLLN é irrelevante, porque a pergunta é sobre o procedimento e não sobre a limitação das propriedades dos dados. Basta demonstrar que quando é um conjunto mensurável no plano, esse procedimento desenha pontos independentemente de com probabilidade proporcional à área de (onde é o disco unitário em questão). AAAD2D2
whuber
@AdamO, o OP não demonstrou interesse em medir a área de um círculo. Eles antecederam a pergunta com "Eu quero gerar amostras". Se eles estavam interessados ​​em estimar a área, seu comentário é válido, pois eles entendem como as amostras obtidas por amostragem por rejeição são representativas. No entanto, eles querem saber por que as amostras obtidas são representativas.
Greenparker
@ Obrigado Greenparker, vejo por que não entendi a pergunta.
AdamO 25/02/19

Respostas:

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Em geral, para obter amostras de uma distribuição com densidade no suporte , se estiver usando uma distribuição de proposta com densidade , precisamos encontrar modo quef(x,y)Sh(x,y)M

sup(x,y)Sf(x,y)h(x,y)M,

para que possamos aceitar um valor proposto com probabilidade

α=f(x,y)Mh(x,y).

Aceitar com é equivalente a desenhar e aceitar se .αUU[0,1]U<α

Suponho que você entenda essa premissa geral de amostragem por rejeição. Portanto, neste exemplo de desenho de amostras do círculo usando uma proposta quadrada uniforme,

f(x,y)=1πI(x2+y2<1=S) and h(x,y)=14I(1<x,y<1).

Primeiro, vamos encontrar . Em apoio de ,Mf

supx2+y21f(x,y)h(x,y)=supx2+y21I(x2+y21)/π1/4=4π:=M.

Portanto, qualquer valor proposto a partir do quadrado será esperado com probabilidade

f(x,y)Mh(x,y)=I(x2+y21)/πM/4=I(x2+y21).

Portanto, para qualquer valor proposto no suporte de , sempre será menor que , portanto, sempre aceitaremos. Portanto, não há necessidade de amostrar a partir de um e, sempre que o ponto amostrado estiver dentro do círculo, podemos aceitá-lo imediatamente.fUU[0,1]1U

Greenparker
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2

Em primeiro lugar você precisa de seus e distribuídos entre e ( dá-lhe um quarto de um círculo desde que você está olhando apenas para e ).xy11[0,1]y0x0

Então você percebe que tem duas listas de variáveis ​​distribuídas aleatoriamente ao longo dos eixos e - duas linhas com uma distribuição aleatória de pontos. Combine isso e você terá um quadrado de pontos distribuídos aleatoriamente.XY

Você então rejeita os bits do quadrado que não estão dentro de um círculo centralizado em - daí - e todos os pontos que satisfazem essa desigualdade estarão no disco e, como os pontos na praça foram distribuídos uniformemente, também os pontos no disco.(0,0)x2+y21

Lio Elbammalf
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Você escolheu qualquer ponto em [0,1] x [0,1] com igual probabilidade. Então você removeu todos aqueles que estão fora do círculo.

Isso não altera a probabilidade de ser selecionado para cada ponto individual dentro do círculo (ou seja: qualquer ponto dentro do círculo ainda tem a mesma probabilidade de ser escolhido como qualquer outro)

David
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