Suponha X = ~ , onde .
Como se calcula a expectativa condicional de , onde e são as estatísticas de menor e maior ordem, respectivamente?
Meu primeiro pensamento seria que, uma vez que as estatísticas da ordem limitam o intervalo, é simplesmente , mas não tenho certeza se isso está correto!
mathematical-statistics
expected-value
uniform
conditional-expectation
order-statistics
N. Quizitive
fonte
fonte
Respostas:
Considere o caso de uma amostra iidX1,X2,…,Xn de uma distribuição Uniforme (0,1) . Escalar essas variáveis por θ e traduzi-las por θ dota-as de uma distribuição Uniforme (θ,2θ) . Tudo o que é relevante para esse problema muda da mesma maneira: as estatísticas da ordem e as expectativas condicionais. Assim, a resposta obtida neste caso especial será válida em geral.
Seja1<k<n. Emulando o raciocínio em https://stats.stackexchange.com/a/225990/919 (ou outro local), verifique se a distribuição conjunta de (X(1),X(k),X(n)) tem função de densidade
Fixando(x,z) e visualizando isso como uma função de y, isso é reconhecível como uma distribuição Beta (k−1,n−k) que foi dimensionada e traduzida no intervalo [x,z]. Assim, o fator de escala deve ser z−x e a conversão leva de 0 a x.
Como a expectativa de uma distribuição Beta(k−1,n−k) é (k−1)/(n−1), descobrimos que a expectativa condicional de X(k) deve ser a expectativa convertida em escala; nomeadamente,
Os casosk=1 e k=n são triviais: suas expectativas condicionais são, respectivamente, X(1) e X(k).
Vamos encontrar a expectativa da soma de todas as estatísticas de pedidos:
A álgebra resume-se a obter a soma∑k=2n−1(k−1)=(n−1)(n−2)/2.
portanto
Por último, porque oXi são identicamente distribuídos, eles têm todos a mesma expectativa, donde
com a solução única
fonte
Conseqüentemente,
fonte