Expectativa condicional de variável aleatória uniforme, dada estatística de ordem

8

Suponha X = (X1,...,Xn) ~ U(θ,2θ) , onde θR+ .

Como se calcula a expectativa condicional de E[X1|X(1),X(n)] , onde X(1) e X(n) são as estatísticas de menor e maior ordem, respectivamente?

Meu primeiro pensamento seria que, uma vez que as estatísticas da ordem limitam o intervalo, é simplesmente (X(1)+X(n))/2 , mas não tenho certeza se isso está correto!

N. Quizitive
fonte
1
Este post em matemática SE poderia ser útil
Kjetil b Halvorsen

Respostas:

8

Considere o caso de uma amostra iid X1,X2,,Xn de uma distribuição Uniforme (0,1) . Escalar essas variáveis ​​por θ e traduzi-las por θ dota-as de uma distribuição Uniforme (θ,2θ) . Tudo o que é relevante para esse problema muda da mesma maneira: as estatísticas da ordem e as expectativas condicionais. Assim, a resposta obtida neste caso especial será válida em geral.

Seja 1<k<n. Emulando o raciocínio em https://stats.stackexchange.com/a/225990/919 (ou outro local), verifique se a distribuição conjunta de (X(1),X(k),X(n)) tem função de densidade

fk;n(x,y,z)=I(0xyz1)(yx)k2(zy)nk1.

Fixando (x,z) e visualizando isso como uma função de y, isso é reconhecível como uma distribuição Beta (k1,nk) que foi dimensionada e traduzida no intervalo [x,z]. Assim, o fator de escala deve ser zx e a conversão leva de 0 a x.

Como a expectativa de uma distribuição Beta (k1,nk) é (k1)/(n1), descobrimos que a expectativa condicional de X(k) deve ser a expectativa convertida em escala; nomeadamente,

E(X(k)X(1),X(n))=X(1)+(X(n)X(1))k1n1.

Os casos k=1 e k=n são triviais: suas expectativas condicionais são, respectivamente, X(1) e X(k).

Vamos encontrar a expectativa da soma de todas as estatísticas de pedidos:

E(k=1nX(k))=X(1)+k=2n1(X(1)+(X(n)X(1))k1n1)+X(n).

A álgebra resume-se a obter a soma

k=2n1(k1)=(n1)(n2)/2.

portanto

E(k=1nX(k))=(n1)X(1)+(X(n)X(1))(n1)(n2)2(n1)+X(n)=n2(X(n)+X(1)).

Por último, porque o Xi são identicamente distribuídos, eles têm todos a mesma expectativa, donde

nE(X1X(1),X(n))=E(X1)+E(X2)++E(Xn)=E(X(1))+E(X(2))++E(X(n))=n2(X(n)+X(1)),

com a solução única

E(X1X(1),X(n))=(X(n)+X(1))/2.


(a,a)a<1.01X(n)<1/2,X(1)(X(1)+X(n))/2;X(1)>1/2,X(n).

whuber
fonte
1

(X(1),X(n))θ

X1,X2,,Xn

fθ(x1,,xn)=1θn1θ<x(1),x(n)<2θ=1θn112x(n)<θ<x(1),θR+

T=(X(1),X(n))θT

E[X1T]E(X1)=3θ2

1θ(Xiθ)i.i.dU(0,1)1θ(X(n)θ)Beta(n,1)1θ(X(1)θ)Beta(1,n)

E(X(n))=nθn+1+θ=(2n+1)θn+1E(X(1))=θn+1+θ=(n+2)θn+1

Conseqüentemente,

E[12(X(1)+X(n))]=12(n+1)((n+2)θ+(2n+1)θ)=3θ2

12(X(1)+X(n))3θ2

E[X1T]=12(X(1)+X(n))

Teimoso
fonte
+1 Esta resposta é boa porque revela uma maneira mais profunda de entender o exercício e o que ele pode nos ensinar.
whuber