Wolfram Mathworld comete um erro ao descrever uma distribuição de probabilidade discreta com uma função de densidade de probabilidade?

Geralmente, uma distribuição de probabilidade sobre variáveis ​​discretas é descrita usando uma função de massa de probabilidade (PMF):

Ao trabalhar com variáveis ​​aleatórias contínuas, descrevemos distribuições de probabilidade usando uma função de densidade de probabilidade (PDF) em vez de uma função de massa de probabilidade.

- Deep Learning por Goodfellow, Bengio e Courville

No entanto, Wolfram Mathworld está usando PDF para descrever a distribuição de probabilidade sobre variáveis ​​discretas:

Isso é um erro? ou isso não importa muito?

Não é um erro: no tratamento formal da probabilidade, via teoria da medida, uma função de densidade de probabilidade é um derivado da medida de probabilidade de interesse, tomada em relação a uma "medida dominante" (também chamada de "medida de referência"). Para distribuições discretas sobre os números inteiros, a função de massa de probabilidade é uma função de densidade em relação à medida de contagem . Como uma função de massa de probabilidade é um tipo específico de função de densidade de probabilidade, algumas vezes você encontrará referências como esta que se referem a ela como uma função de densidade e elas não estão erradas ao se referir a ela dessa maneira.

No discurso comum sobre probabilidade e estatística, muitas vezes evita-se essa terminologia e faz uma distinção entre "funções de massa" (para variáveis ​​aleatórias discretas) e "funções de densidade" (para variáveis ​​aleatórias contínuas), a fim de distinguir distribuições discretas e contínuas. Em outros contextos, onde se está declarando aspectos holísticos da probabilidade, geralmente é melhor ignorar a distinção e se referir a ambas como "funções de densidade".

Além da resposta mais teórica em termos da teoria da medida, também é conveniente não distinguir entre pmfs e pdfs na programação estatística. Por exemplo, R tem uma variedade de distribuições internas. Para cada distribuição, possui 4 funções. Por exemplo, para a distribuição normal (do arquivo de ajuda):

dnorm gives the density, pnorm gives the distribution function, qnorm gives the quantile function, and rnorm generates random deviates.

Usuários R rapidamente se tornam usados ​​para os d,p,q,rprefixos. Seria irritante se você tivesse que fazer algo como descartar de usar mpara, por exemplo, a distribuição binomial. Em vez disso, tudo é como o usuário R esperaria:

dbinom gives the density, pbinom gives the distribution function, qbinom gives the quantile function and rbinom generates random deviates.