Ligação entre função geradora de momento e função característica

17

Estou tentando entender o vínculo entre a função geradora de momento e a função característica. A função geradora de momento é definida como:

MX(t)=E(exp(tX))=1+tE(X)1+t2E(X2)2!++tnE(Xn)n!

Usando a expansão em série de , Posso encontrar todos os momentos da distribuição para a variável aleatória X.exp(tX)=0(t)nXnn!

A função característica é definida como:

φX(t)=E(exp(itX))=1+itE(X)1t2E(X2)2!++(it)nE(Xn)n!

Eu não entendo completamente o que informações o número imaginário me dá mais. Vejo que e, portanto, não temos apenas + na função característica, mas por que precisamos subtrair momentos na função característica? Qual é a ideia matemática?ii2=1+

Giuseppe
fonte
7
Um ponto importante é que a função geradora de momentos nem sempre é finita! (Veja esta pergunta , por exemplo.) Se você deseja construir uma teoria geral, digamos, sobre convergência na distribuição, gostaria de poder fazê-la funcionar com o maior número possível de objetos. A função característica é, obviamente, finita para qualquer variável aleatória desde |exp(itX)|1 .
cardeal
As semelhanças nas expansões de Taylor ainda permitem ler os momentos, quando eles existem, mas observe que nem todas as distribuições têm momentos; portanto, o interesse nessas funções vai muito além disso! :)
cardeal
6
Outro ponto a ser observado é que o MGF é a transformação de Laplace de uma variável aleatória e o CF é a transformação de Fourier. Existem relações fundamentais entre essas transformações integrais, veja aqui .
tchakravarty
Eu pensei que CF é a transformada de Fourier inversa (e não a transformada de Fourier) de uma distribuição de propabilidade?
21412 Giuseppe
1
A distinção é apenas uma questão de sinal no expoente e, possivelmente, uma constante multiplicativa.
Glen_b -Reinstate Monica

Respostas:

12

Como mencionado nos comentários, as funções características sempre existem, porque exigem a integração de uma função do módulo . No entanto, a função de geração de momentos não precisa existir, porque requer, em particular, a existência de momentos de qualquer ordem.1

Quando sabemos que é integrável para todos os , podemos definir para cada número complexo . Então notamos que e .E[etX]tg(z):=E[ezX]zMX(t)=g(t)φX(t)=g(it)

Davide Giraudo
fonte