Soma das variáveis aleatórias Binomial e Poisson

Se tivermos duas variáveis aleatórias independentes e , qual é a função de massa de probabilidade de ? $X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$ $X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$ $X_1 + X_2$

NB Isso não é lição de casa para mim.

distributions self-study binomial poisson-distribution Matteo Fasiolo
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Eu acho que você tentou enrolar? pt.wikipedia.org/wiki/… Onde você ficou preso? Presumo que não há forma fechada, caso contrário, a solução seria provavelmente aqui: en.wikipedia.org/wiki/...

Stephan Kolassa

Sim, foi isso que tentei, mas talvez eu tenha encontrado uma resposta aqui: mathstatica.com/SumBinomialPoisson Função Kummer confluente hipergeométrica .. hugh !

27612 Matteo Fasiolo #

Li a etiqueta da lição de casa de acordo com a sua utilização neste site . Felicidades. :-)

cardeal

Novel significa novo (não conhecido ou publicado antes). Também não concordo que o uso de métodos conhecidos para solucionar novos problemas torne o dever de casa - o mesmo pode ser dito para a maioria dos artigos de periódicos que publicam resultados em distribuições.

wolfies

Como em muitos outros casos nas estatísticas em que uma função hipergeométrica aparece com argumentos integrais, você pode entender que é uma notação abreviada da soma implícita (finita) da convolução, se desejar. A vantagem de uma expressão desse tipo é que existem inúmeras maneiras de manipulá-la em formas mais simples e muitas vezes ela pode ser avaliada sem realmente executar a soma.

whuber

Respostas:

Você terminará com duas fórmulas diferentes para , uma para e outra para . A maneira mais fácil de resolver esse problema é calcular o produto de e . Então, é o coeficiente de no produto. Não é possível simplificar os montantes. $p_{X_1+X_2}(k)$ $0 \leq k < n$ $k \geq n$ $\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$ $\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$ $p_{X_1+X_2}(k)$ $z^k$

Dilip Sarwate
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Dando a fórmula fechada em termos de funções hipergeométricas generalizadas (GHF) sugeridas em outras respostas (a GHF nesse caso é realmente apenas um polinômio finito, também é uma abreviação para a soma finita). este resultado:

P (X_{1} + X_{2} = k) = \sum_{x_{1} = 0}^{min (n, k)} (\binom{n}{x_{1}}) p^{x_{1}} (1 - p)^{n - x_{1}} e^{- λ} \frac{λ^{k - x_{1}}}{(k - x_{1})!} = \frac{{(1 - p)}^{n} e^{- λ} λ^{k}}{Γ (k + 1)}_{2} F_{0} (- k, - n;; - \frac{p}{(p - 1) λ})

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$

kjetil b halvorsen
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Dilip Sarwate afirmou há 7 anos que nenhuma simplificação é possível, embora isso tenha sido contestado nos comentários. No entanto, acho útil notar que, mesmo sem nenhuma simplificação, o cálculo é bastante direto em qualquer planilha ou linguagem de programação.

Aqui está uma implementação em R:

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]

Pere
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Dilip não mostrou que nenhuma simplificação das somas é possível: ele declarou tal afirmação (e a afirmação não parece correta). Se você seguir os links fornecidos pelo OP, será fornecida uma solução em termos de funções hipergeométricas confluentes de Kummer.

wolfies

@wolfies - Esse seria um ponto muito interessante em uma nova resposta para essa pergunta antiga. Provavelmente mais interessante que o meu.

Pere

Uma abordagem potencialmente mais rápida para n grande no binômio e lambda grande envolveria transformações rápidas de Fourier (ou similares). Eu o usei com sucesso em vários problemas do mundo real, onde a convolução não é algebricamente conveniente, mas respostas numéricas são suficientes e onde várias variáveis independentes foram adicionadas.

Glen_b -Reinstala Monica

No comentário de Re @ Glen_b, para valores maiores de e essa convolução de força bruta se torna incômoda. Além disso, o desafio não é implementá-lo, mas encontrar pontos de extremidade adequados para calcular a matriz: fixar em 10 obviamente não será suficiente. Um método confiável é definir percentis extremos da distribuição, como , em seguida, calcular o intervalo e, em seguida, "cortar" os resultados (com ) antes de prosseguir com o produto externo. Quando for grande, aplique um procedimento semelhante às probabilidades binomiais.

n

$n$

λ

$\lambda$ dpoisxxx<-qpois(0:1+c(1,-1)*1e-6, lambda)dpoisxzapsmalln

whuber

De fato. Fiz algo semelhante com meu próprio aplicativo - sair suficientemente longe deu os quantis necessários com a precisão necessária.

Glen_b -Reinstala Monica

Soma das variáveis ​​aleatórias Binomial e Poisson

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