Relação entre distribuições binomial e beta

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Sou mais programador do que estatístico, então espero que essa pergunta não seja muito ingênua.

Isso acontece na execução de programas de amostragem em momentos aleatórios. Se eu coletar N = 10 amostras em tempo aleatório do estado do programa, eu poderia ver a função Foo sendo executada em, por exemplo, I = 3 dessas amostras. Estou interessado no que isso me diz sobre a fração de tempo real F que Foo está em execução.

Entendo que sou distribuído binomialmente com F * N médio. Eu também sei que, dado I e N, F segue uma distribuição beta. Na verdade, eu verifiquei por programa a relação entre essas duas distribuições, que é

cdfBeta(I, N-I+1, F) + cdfBinomial(N, F, I-1) = 1

O problema é que não tenho uma sensação intuitiva do relacionamento. Não consigo "imaginar" por que funciona.

Edição: Todas as respostas foram desafiadoras, especialmente @ whuber's, que eu ainda preciso gritar, mas trazer estatísticas de ordem foi muito útil. No entanto, percebi que deveria ter feito uma pergunta mais básica: dados I e N, qual é a distribuição de F? Todo mundo apontou que é Beta, que eu sabia. Finalmente descobri na Wikipedia ( Conjugado anterior ) que parece ser Beta(I+1, N-I+1). Depois de explorá-lo com um programa, parece ser a resposta certa. Então, eu gostaria de saber se estou errado. E ainda estou confuso sobre a relação entre os dois cdfs mostrados acima, por que eles somam 1 e se eles têm alguma coisa a ver com o que eu realmente queria saber.

Mike Dunlavey
fonte
Se "o que você realmente queria saber" é "a fração real de tempo que Foo está em execução", você está perguntando sobre um intervalo de confiança binomial ou um intervalo credível (bayesiano) binomial.
whuber
@whuber: Bem, eu uso o método de pausa aleatória de ajuste de desempenho há mais de 3 décadas, e algumas outras pessoas também o descobriram. Eu disse às pessoas que, se alguma condição for verdadeira em 2 ou mais amostras em tempo aleatório, sua remoção economizaria uma boa fração de tempo. Quão boa é uma fração sobre a qual tentei ser explícita, supondo que não conheçamos um Bayesiano antes. Aqui está a chama geral: stackoverflow.com/questions/375913/... e stackoverflow.com/questions/1777556/alternatives-to-gprof/...
Mike Dunlavey
1
Boa ideia. O pressuposto estatístico é que a interrupção é independente do estado de execução, que é uma hipótese razoável. Um intervalo de confiança binomial é uma boa ferramenta a ser usada para representar a incerteza. (Também pode ser uma revelação: na sua situação de 3/10, um IC de 95% simétrico nos dois lados para a verdadeira probabilidade é de [6,7%, 65,2%]. Em uma situação de 2/10, o intervalo é de [2,5 55,6%]. Essas são amplas faixas! Mesmo com 2/3, o limite inferior ainda é inferior a 10%. A lição aqui é que algo bastante raro pode acontecer duas vezes.)
whuber
@ whuber: Obrigado. Você está certo. Algo mais útil é o valor esperado. No que diz respeito aos anteriores, aponto que, se você vir algo apenas uma vez, isso não lhe diz muito, a menos que você saiba que o programa está em um loop infinito (ou extremamente longo).
precisa saber é o seguinte
Acho que todas as respostas e comentários certamente foram esclarecedores e corretos, mas ninguém realmente tocou na interessante igualdade que @MikeDunlavey colocou em seu post original. Essa igualdade pode ser encontrada na wikipedia Beta en.wikipedia.org/wiki/Beta_function#Incomplete_beta_function, mas não há descrição de por que esse é o caso, apenas declarado como uma propriedade.
bdeonovic 03/04

Respostas:

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Considere as estatísticas da ordem de empates independentes de uma distribuição uniforme. Como as estatísticas dos pedidos têm distribuições Beta , a chance de que não exceda é dada pela integral Beta n + 1 x [ k ] Px[0]x[1]x[n]n+1x[k]p

Pr[x[k]p]=1B(k+1,nk+1)0pxk(1x)nkdx.

(Por que isso? Aqui está uma demonstração não rigorosa, mas memorável. A chance de que esteja entre e é a chance de que dentre valores uniformes, deles esteja entre e , pelo menos um deles está entre e , e o restante está entre e Para a primeira ordem no infinitesimal , precisamos considerar apenas o caso em que exatamente um valor (ou seja, ) fica entre e e, portanto, p p + d p n + 1 k 0 p p p + d p p + d p 1 d p x [ k ] p p + d p n - k p + d p p k ( d p ) ( 1 - p - d p ) n - k dx[k]pp+dpn+1k0ppp+dpp+dp1dpx[k]pp+dpnk valores excedem . Como todos os valores são independentes e uniformes, essa probabilidade é proporcional a . Para a primeira ordem em isso é igual a , precisamente o integrando da distribuição Beta. O termo pode ser calculado diretamente a partir desse argumento como o coeficiente multinomial ou derivado indiretamente como a constante de normalização da integral.)p+dppk(dp)(1pdp)nkp k ( 1 - p ) n - k d p 1dppk(1p)nkdp1B(k+1,nk+1)(n+1k,1,nk)

Por definição, o evento é que o valor de não excede . Equivalentemente, pelo menos dos valores não excede : essa afirmação simples (e espero óbvia) fornece a intuição que você procura. A probabilidade da afirmação equivalente é dada pela distribuição binomial,k + 1 st p k + 1 px[k]pk+1stp k+1p

Pr[at least k+1 of the xip]=j=k+1n+1(n+1j)pj(1p)n+1j.

Em resumo , a integral Beta divide o cálculo de um evento em uma série de cálculos: encontrar pelo menos valores de no intervalo , cuja probabilidade normalmente calcularíamos com um cd binomial, é dividida mutuamente casos exclusivos em que exatamente os valores de estão no intervalo e 1 está no intervalo para todos os possíveis , , e é um comprimento infinitesimal. A soma de todas essas "janelas" - ou seja, integrando - deve fornecer a mesma probabilidade do CD binomial.[ 0 , p ] k [ 0 , x ] [ x , x + d x ] x 0 x < p d x [ x , xk+1[0,p] k[0,x][x,x+dx]x0x<pdx[x,x+dx]

texto alternativo

whuber
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Agradeço o esforço. Vou ter que realmente estudar isso porque não é minha "língua nativa". Além disso, estou vendo muitos cifrões e formatação. Existe algo que eu não sei que faz com que pareça matemática real?
Mike Dunlavey
O que aconteceu? De repente, a matemática apareceu e a digitação aqui ficou bem lenta.
Mike Dunlavey
@ Mike Consulte meta.stats.stackexchange.com/q/218/919 .
whuber
Revisei a pergunta, se você quiser dar uma olhada. Obrigado.
Mike Dunlavey
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É um pouco tarde, mas finalmente tive tempo de me sentar e recriar seu argumento. A chave foi "coeficiente multinomial". Eu tentei descobrir isso usando coeficientes binomiais simples e antigos e estava ficando empolgado. Obrigado novamente por uma boa resposta.
precisa saber é o seguinte
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Veja o pdf do Binomial como uma função de : e o pdf do Beta como uma função de : Você provavelmente pode ver que, com uma escolha apropriada (inteira) para e são iguais. Tanto quanto posso dizer, é tudo o que existe nessa relação: a maneira como entra no binômio pdf é chamada de distribuição Beta.f ( x ) = ( nxp

f(x)=(nx)px(1p)nx
pabp
g(p)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)pa1(1p)b1
abp
Aniko
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Eu sei que essas parecem quase iguais, mas se eu substituir y por nx, e se eu pegar o pdf Beta e substituir x por a-1 e y por b-1, recebo um fator extra de (x + y + 1), ou n + 1. ou seja (x + y + 1)! / x! / y! * p ^ x * q ^ y. Isso parece ser o suficiente para me jogar fora.
Mike Dunlavey
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Talvez alguém entre em contato com uma resposta completa, mas, em uma explicação "intuitiva", sempre podemos desviar manualmente as constantes (como ) que não dependem das variáveis ​​de interesse ( e ), mas são necessárias para faça o pdf adicionar / integrar a 1. Sinta-se à vontade para substituir os sinais de "igualdade" por "proporcional a". x pn+1xp
Aniko
Bom ponto. Eu acho que estou chegando perto de um entendimento. Eu ainda estou tentando ser capaz de dizer o que x informa sobre a distribuição p, e por que essas duas cdfs somar 1.
Mike Dunlavey
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Eu tenho uma visão diferente das explicações "intuitivas". Em alguns casos, não nos importamos muito com constantes, mas, neste caso, o cerne da questão é ver por que um n + 1 aparece e não um n. Se você não entende isso, sua "intuição" está incorreta.
whuber
Revisei a pergunta, se você quiser dar uma olhada. Obrigado.
Mike Dunlavey
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Como você observou, a distribuição Beta descreve a distribuição da probabilidade julgamento parâmetro , enquanto a distribuição binomial descreve a distribuição do resultado do parâmetro . Reescrevendo sua pergunta, o que você perguntou foi sobre por que Ou seja, a probabilidade de que a observação mais um seja maior que a expectativa da observação é a mesma probabilidade de que a observação mais uma é maior que a expectativa da observação.I P ( F i + 1FIP(Fni+1)+P(I+1fn)=1P(Fni+1)=P(fn<I+1)

P(Fi+1n)+P(Ifn1)=1
P(Fni+1)+P(I+1fn)=1
P(Fni+1)=P(fn<I+1)

Admito que isso pode não ajudar a intuir a formulação original do problema, mas talvez ajude a pelo menos ver como as duas distribuições usam o mesmo modelo subjacente de repetidos ensaios de Bernoulli para descrever o comportamento de diferentes parâmetros.

sesqu
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Agradeço sua opinião sobre isso. Todas as respostas estão me ajudando a pensar sobre a pergunta e possivelmente entender melhor o que estou perguntando.
Mike Dunlavey
Revisei a pergunta, se você quiser dar uma olhada. Obrigado.
Mike Dunlavey
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Em relação à sua revisão: Sim, , desde que seus intervalos de amostragem sejam longos o suficiente para que cada observação seja independente e identicamente distribuída. Observe que se você deseja ser bayesiano e especificar uma distribuição anterior não uniforme para o que você espera que a proporção real seja, você pode adicionar algo mais aos dois parâmetros. FBeta(I+1,NI+1)
sesqu
@ sesqu, sua resposta poderia estar de alguma forma relacionada à minha pergunta aqui: stats.stackexchange.com/questions/147978/… ? Eu apreciaria seus pensamentos sobre isso.
Vicent
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Em terras bayesianas, a distribuição Beta é o conjugado anterior para o parâmetro p da distribuição Binomial.

Ian Fiske
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Sim, mas por que esse é o caso?
vonjd 11/08/19
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Não posso comentar sobre outras respostas, por isso tenho que criar minha própria resposta.

Posterior = C * Probabilidade * Anterior (C é uma constante que torna o Posterior integrado a 1)

Dado um modelo que usa distribuição binomial por probabilidade e distribuição beta por prior. O produto dos dois que gera o Posterior também é uma distribuição Beta. Como o anterior e o posterior são ambos beta e, portanto, são distribuições conjugadas . o Prior (a Beta) é chamado de conjugado anterior para a probabilidade (um Binomial). Por exemplo, se você multiplicar um Beta por um Normal, o Posterior não será mais um Beta. Em resumo, Beta e Binomial são duas distribuições usadas com frequência na inferência bayesiana. Beta é conjugado antes do binômio, mas as duas distribuições não são um subconjunto ou superconjunto da outra.

A idéia-chave da inferência bayesiana é que estamos tratando o parâmetro p como uma variável aleatória que varia de [0,1], o que é contrário à abordagem de inferência freqüencialista, na qual estamos tratando o parâmetro p como fixo. Se você observar atentamente as propriedades da distribuição Beta, verá que a Média e o Modo são determinados apenas por e irrelevantes para o parâmetro pαβ . Isso, juntamente com sua flexibilidade, é o motivo pelo qual o Beta é geralmente usado como Prior.

John Li
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Resumo: Costuma-se dizer que a distribuição Beta é uma distribuição nas distribuições! Mas o que são meios?

Essencialmente significa que você pode corrigir pensar em como uma função de . O que o cálculo abaixo diz é que o valor de aumenta de para quando você ajusta de para . A taxa crescente em cada é exatamente naquele .n,kP[Bin(n,p)k]pP[BEun(n,p)k]0 01p0 01pβ(k,n-k+1)p

insira a descrição da imagem aqui


Deixe denotar uma variável aleatória Binomial com amostras e a probabilidade de sucesso . Usando álgebra básica, temosBEun(n,p)np

ddpP[BEun(n,p)=Eu]=n(P[BEun(n-1,p)=Eu-1]-P[BEun(n-1,p)=Eu]).

Ele também tem uma boa prova combinatória, pense nisso como um exercício!

Então nós temos:

ddpP[BEun(n,p)k]=ddpEu=knP[BEun(n,p)=Eu]=n(Eu=knP[BEun(n-1,p)=Eu-1]-P[BEun(n-1,p)=Eu])
que é uma série telescópica e pode ser simplificada como

ddpP[BEun(n,p)k]=nP[BEun(n-1,p)=k-1]=n!(k-1)!(n-k)!pk-1(1-p)n-k=β(k,n-k+1).


Observação Para ver uma versão interativa da trama, veja isso . Você pode baixar o notebook ou apenas usar o link Binder.

MR_BD
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