Posso converter uma matriz de covariância em incertezas para variáveis?

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Eu tenho uma unidade GPS que gera uma medição de ruído via matriz de covariância Σ :

Σ=[σxxσxyσxzσyxσyyσyzσxzσyzσzz]

(há também envolvido, mas vamos ignorar isso por um segundo.)t

Suponha que eu queira dizer a outra pessoa que a precisão em cada direção ( ) é algum número. µ x , µ y , µ z . Ou seja, meu GPS pode me dar uma leitura de x = ˉ x ± μ x , etc. Meu entendimento é que μ nesse caso implica que todos os mensurandos são independentes um do outro (ou seja, a matriz de covariância é diagonal). Além disso, encontrar o erro vetorial é tão simples quanto adicionar erros em quadratura (raiz quadrada da soma dos quadrados).x,y,zμx,μy,μzx=x¯±μxμ

O que acontece se minha matriz de covariância não for diagonal? Existe um número simples que engloba os efeitos do y e z instruções? Como posso descobrir isso, dada uma matriz de covariância?μxyz

Dang Khoa
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O que você quer dizer com encontrar o erro vetorial adicionando erros em quadratura? Cada uma das suas direções é um erro em uma quantidade diferente - adicionar erros em quadratura é para quando você combina várias fontes de erro em uma quantidade. O que você considera o erro vetorial?
Corone
Uma observação lateral - em várias regressões, as pessoas geralmente declaram o erro padrão dos coeficientes de regressão, mas na verdade as estimativas para os diferentes coeficientes são correlacionadas. É possível produzir elipsóides de confiança de 95% que representam a incerteza em múltiplas dimensões - muito análoga à situação que você está considerando.
Silverfish

Respostas:

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Não há um número único que inclua todas as informações de covariância - há 6 informações, portanto você sempre precisará de 6 números.

No entanto, há várias coisas que você poderia considerar fazer.

Em primeiro lugar, o erro (variação) em qualquer direção particular é dado pori

σi2=eiΣei

Onde é o vetor de unidade na direção de interesse.ei

Agora, se você olhar para essas três coordenadas básicas , poderá ver o seguinte:(x,y,z)

σx2=[100][σxxσxyσxzσyxσyyσyzσxzσyzσzz][100]=σxx

σy2=σyy

σz2=σzz

Portanto, o erro em cada uma das direções consideradas separadamente é dado pela diagonal da matriz de covariância. Isso faz sentido intuitivamente - se eu estiver considerando apenas uma direção, mudar apenas a correlação não deve fazer diferença.

Você está correto ao observar que simplesmente afirma:

x=μx±σx

y=μx±σy

z=μz±σz

Não implica nenhuma correlação entre essas três afirmações - cada afirmação sozinha está perfeitamente correta, mas reunidas algumas informações (correlação) foram descartadas.

Se você estiver fazendo muitas medições, cada uma com a mesma correlação de erro (supondo que isso venha do equipamento de medição), então uma possibilidade elegante é girar suas coordenadas para diagonalizar sua matriz de covariância. Em seguida, você pode apresentar erros em cada uma dessas direções separadamente, pois agora eles não serão correlacionados.

Quanto a tomar o "erro de vetor" adicionando em quadratura, não sei ao certo o que você está dizendo. Esses três erros são erros em quantidades diferentes - eles não se cancelam e, portanto, não vejo como você pode adicioná-los. Você quer dizer erro à distância?

Corone
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Sim, quero dizer erro na distância total, desculpe por confusão.
Dang Khoa
Mas a distância não é d=x+y+z(a menos que você realmente queira dizer a distância entre táxi e táxi?), os erros não serão adicionados em quadratura, serão? Se assumirmos a normalidade, entãod2=x2+y2+z2terá uma distribuição qui-quadrado não central em 3 graus de liberdade. Acho que a distribuição da distância começará a ficar confusa sem algumas aproximações simplificadoras.
Corone
@ Corone, quando você diz "Em primeiro lugar, o erro em qualquer direção específica" Você está se referindo à variação ao dizer o erro?
CroCo 24/02
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@croco sim isso mesmo, uma vez que estamos começando com é covariância
Corone