Posso converter uma matriz de covariância em incertezas para variáveis?

Eu tenho uma unidade GPS que gera uma medição de ruído via matriz de covariância $\Sigma$ :

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(há também envolvido, mas vamos ignorar isso por um segundo.)$t$

Suponha que eu queira dizer a outra pessoa que a precisão em cada direção ( ) é algum número. µ x , µ y , µ z . Ou seja, meu GPS pode me dar uma leitura de x = ˉ x ± μ x , etc. Meu entendimento é que μ nesse caso implica que todos os mensurandos são independentes um do outro (ou seja, a matriz de covariância é diagonal). Além disso, encontrar o erro vetorial é tão simples quanto adicionar erros em quadratura (raiz quadrada da soma dos quadrados).$x,y,z$$\mu_x, \mu_y, \mu_z$$x=\bar{x}\pm\mu_x$$\mu$

O que acontece se minha matriz de covariância não for diagonal? Existe um número simples que engloba os efeitos do y e z instruções? Como posso descobrir isso, dada uma matriz de covariância?$\mu_x^*$$y$$z$

Não há um número único que inclua todas as informações de covariância - há 6 informações, portanto você sempre precisará de 6 números.

No entanto, há várias coisas que você poderia considerar fazer.

Em primeiro lugar, o erro (variação) em qualquer direção particular é dado por$i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Onde é o vetor de unidade na direção de interesse.$\mathbf{e}_i$

Agora, se você olhar para essas três coordenadas básicas , poderá ver o seguinte:$(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Portanto, o erro em cada uma das direções consideradas separadamente é dado pela diagonal da matriz de covariância. Isso faz sentido intuitivamente - se eu estiver considerando apenas uma direção, mudar apenas a correlação não deve fazer diferença.

Você está correto ao observar que simplesmente afirma:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

Não implica nenhuma correlação entre essas três afirmações - cada afirmação sozinha está perfeitamente correta, mas reunidas algumas informações (correlação) foram descartadas.

Se você estiver fazendo muitas medições, cada uma com a mesma correlação de erro (supondo que isso venha do equipamento de medição), então uma possibilidade elegante é girar suas coordenadas para diagonalizar sua matriz de covariância. Em seguida, você pode apresentar erros em cada uma dessas direções separadamente, pois agora eles não serão correlacionados.

Quanto a tomar o "erro de vetor" adicionando em quadratura, não sei ao certo o que você está dizendo. Esses três erros são erros em quantidades diferentes - eles não se cancelam e, portanto, não vejo como você pode adicioná-los. Você quer dizer erro à distância?