Função geradora de momento do produto interno de dois vetores aleatórios gaussianos

Alguém pode sugerir como calcular a função geradora de momento do produto interno de dois vetores aleatórios gaussianos, cada um distribuído como , independente um do outro? Existe algum resultado padrão disponível para isso? Qualquer ponteiro é muito apreciado.$\mathcal N(0,\sigma^2)$

Endereço Primeiro vamos caso $\Sigma = \sigma\mathbb{I}$ . No final, está a (fácil) generalização para arbitrário $\Sigma$ .

Comece observando que o produto interno é a soma das variáveis ​​iid, cada uma delas o produto de duas variáveis normais normais $(0,\sigma)$ , reduzindo assim a questão de encontrar o mgf deste último, porque o mgf de uma soma é o produto dos mgfs.

O mgf pode ser encontrado por integração, mas há uma maneira mais fácil. Quando $X$ e $Y$ são padrão normal,

$$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$$

é uma diferença de duas variáveis ​​qui-quadrado em escala independentes. (O factor de escala é , porque as variações de ( X ± Y ) / 2 igual a 1 / 2 ). Devido a mgf de uma variável de qui-quadrado é 1 / $1/2$$(X\pm Y)/2$$1/2$ , o mgf de((X+Y)/2)2é1/$1/\sqrt{1 - 2\omega}$$((X+Y)/2)^2$ e o mgf de -((X-Y)/2)2é1/$1/\sqrt{1-\omega}$$-((X-Y)/2)^2$ . Multiplicando, descobrimos que o mgf desejado é igual a1/$1/\sqrt{1+\omega}$ .$1/\sqrt{1-\omega^2}$

(Para referência posterior, observe que quando e Y são redimensionados por σ , o produto é escalonado em σ 2 , de onde ω também deve ser escalonado em σ 2. )$X$$Y$$\sigma$$\sigma^2$$\omega$$\sigma^2$

Isso deve parecer familiar: até alguns fatores constantes e um sinal, parece a densidade de probabilidade de uma distribuição t de Student com graus de liberdade. (De fato, se estivéssemos trabalhando com funções características em vez de mgfs, obteríamos 1 / $0$ , que é ainda mais próximo do PDF de um aluno t.) Não importa que não exista um aluno t com0dfs - tudo o que importa é que o mgf seja analítico em uma vizinhança de0e isso claramente é (pelo Teorema Binomial).$1/\sqrt{1 + \omega^2}$$0$$0$

Conclui-se imediatamente que a distribuição do produto interno desses vetores gaussianos iid possui mgf igual ao produto n- vezes desse mgf,$n$$n$

$$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$$

Ao olhar para cima a função característica da distribuição t de Student, deduzimos (com um pouquinho de álgebra ou uma integração de encontrar a constante de normalização) que o próprio PDF é dada por

$$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$$

( é uma função de Bessel).$K$

Por exemplo, aqui é uma trama de PDF que sobreposto ao histograma de uma amostra aleatória de tais produtos internos onde σ = 1 / 2 e n = 3 :$10^5$$\sigma=1/2$$n=3$

É mais difícil confirmar a precisão do mgf de uma simulação, mas observe (do Teorema Binomial) que

$$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$$

a partir do qual podemos ler os momentos (divididos por fatoriais). Devido à simetria de , apenas os momentos pares são importantes. Para σ = 1 / 2 obtém-se os seguintes valores, ao ser comparado com os momentos matérias desta simulação:$0$$\sigma=1/2$

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

Como era de se esperar, os momentos altos da simulação começarão a partir dos momentos dados pelo mgf; mas pelo menos até o décimo momento, há um excelente acordo.

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Aliás, quando a distribuição é bi-exponencial.$n=2$

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Para lidar com o caso geral, comece observando que o produto interno é um objeto independente de coordenadas. Podemos, portanto, tomar as principais direções (vetores próprios) de como coordenadas. Nestas coordenadas do produto interno é a soma dos independentes produtos de independente normal variates, cada componente de distribuição com uma variância igual ao seu valor próprio associado. Assim, deixando que os autovalores diferentes de zero sejam σ 2 1 , σ 2 2 , … , σ 2 d (com 0 ≤ d ≤ n ), o mgf deve ser igual a$\Sigma$$\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$$0 \le d \le n$

$$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$$

$\Sigma$

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$$

e calculou que seus valores próprios são

$$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$$

$10^6$$X_i$$(0,\Sigma)$$10^6$$Y_i$$10^6$$X_i\cdot Y_i$$-12$$15$

Como antes, o acordo é excelente. Além disso, os momentos correspondem bem ao oitavo e razoavelmente bem, mesmo no décimo:

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

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Termo aditivo

(Adicionado em 9 de agosto de 2013.)

$f_{n,\sigma}$$0$$0$$\sigma^2$$n/2$