Variação do produto de múltiplas variáveis ​​aleatórias

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Conhecemos a resposta para duas variáveis ​​independentes:

Var(XY)=E(X2Y2)(E(XY))2=Var(X)Var(Y)+Var(X)(E(Y))2+Var(Y)(E(X))2

No entanto, se considerarmos o produto de mais de duas variáveis, , qual seria a resposta em termos de variações e valores esperados de cada variável?Var(X1X2Xn)

damla
fonte
5
Como é uma variável aleatória e (assumindo que todos os X i são independentes) é independente de X n , a resposta é obtida indutivamente: nada de novo é necessário. Para que isso pareça misterioso demais, a técnica não é diferente de apontar que, como você pode adicionar dois números com uma calculadora, você pode adicionar n números com a mesma calculadora apenas com a adição repetida. X1X2Xn1XiXnn
whuber
3
Você poderia escrever uma prova da sua equação exibida? Estou curioso para descobrir o que aconteceu com o termo que deve fornecer alguns termos que envolvem cov ( X , Y ) . (E[XY])2cov(X,Y)
Dilip Sarwate
5
@DilipSarwate, eu suspeito que esta pergunta presuma tacitamente que e Y são independentes. A fórmula do OP está correta sempre que X , Y não estão correlacionados e X 2 , Y 2 não estão correlacionados. Veja minha resposta para uma pergunta relacionada aqui . XYX,YX2,Y2
Macro
5
E[X2Y2]
E[X2Y2]=E[X2]E[Y2]=(σX2+μX2)(σY2+μY2),
E[(X1Xn)2]
E[(X1Xn)2]=E[X12]E[Xn2]=i=1n(σXi2+μXi2)
o que eu acho que é uma maneira mais direta de chegar ao resultado final do que o método indutivo que a whuber apontou.
Dilip Sarwate
@DilipSarwate, nice. Sugiro que você publique isso como resposta, para que eu possa votar novamente!
Macro

Respostas:

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X1,X2,,Xn

var(X1Xn)=E[(X1Xn)2](E[X1Xn])2=E[X12Xn2](E[(X1]E[Xn])2=E[X12]E[Xn2](E[X1])2(E[Xn])2=i=1n(var(Xi)+(E[Xi])2)i=1n(E[Xi])2
n=2n=2X1X2X1X2X12X22n3
Dilip Sarwate
fonte
Muito obrigado! Eu realmente gostei disso. Sim, a questão era para variáveis ​​aleatórias independentes.
21313 damla
X1=X2==Xn=X
Publiquei a pergunta em uma nova página. Muito obrigado! stats.stackexchange.com/questions/53380/…
damla
n
3