Como encontro valores não fornecidos nas tabelas estatísticas (interpoladas)?

Frequentemente, as pessoas usam programas para obter valores-p, mas às vezes - por qualquer motivo - pode ser necessário obter um valor crítico a partir de um conjunto de tabelas.

Dada uma tabela estatística com um número limitado de níveis de significância e um número limitado de graus de liberdade, como obtenho valores críticos aproximados em outros níveis de significância ou graus de liberdade (como nas tabelas , qui-quadrado ou ) ?$t$$F$

Ou seja, como encontro os valores "entre" os valores de uma tabela?

Essa resposta está dividida em duas partes principais: primeiro, usando interpolação linear e, segundo, usando transformações para obter uma interpolação mais precisa. As abordagens discutidas aqui são adequadas para o cálculo manual quando você tem tabelas limitadas disponíveis, mas se você estiver implementando uma rotina de computador para produzir valores-p, existem abordagens muito melhores (se entediantes quando feitas à mão) que devem ser usadas.

Se você soubesse que o valor crítico de 10% (uma cauda) para um teste z era 1,28 e o valor crítico de 20% era 0,84, uma estimativa aproximada do valor crítico de 15% seria a meio caminho entre - (1,28 + 0,84) / 2 = 1,06 (o valor real é 1,0364) e o valor de 12,5% pode ser calculado a meio caminho entre esse valor e o valor de 10% (1,28 + 1,06) / 2 = 1,17 (valor real 1,15+). É exatamente isso que a interpolação linear faz - mas, em vez de "no meio do caminho", ela olha para qualquer fração do caminho entre dois valores.

Interpolação linear univariada

Vejamos o caso da interpolação linear simples.

Portanto, temos uma função (digamos de ) que achamos que é aproximadamente linear perto do valor que estamos tentando aproximar, e temos um valor da função em ambos os lados do valor que queremos, por exemplo:$x$

$$\begin{array}{ c c } x & y\\ 8 & 9.3\\ 16 & y_{16}\\ 20 & 15.6\\ \end{array}$$

Os dois valores de cujos sabemos são separados por 12 (20-8). Veja como o valor (aquele para o qual queremos um valor aproximado de ) divide essa diferença de 12 acima na proporção 8: 4 (16-8 e 20-16)? Ou seja, é 2/3 da distância do primeiro valor ao último. Se o relacionamento fosse linear, o intervalo correspondente de valores y estaria na mesma proporção.y x y $x$$y$$x$$y$$x$

Portanto, deve ser o mesmo que . 16-$\frac{y_{16} - 9.3}{15.6 - 9.3}$$\frac{16-8}{20-8}$

Isso é$\frac{y_{16} - 9.3}{15.6 - 9.3} \approx \frac{16-8}{20-8}$

reorganização:

$y_{16} \approx 9.3 + (15.6 - 9.3) \frac{16-8}{20-8} = 13.5$

Um exemplo com tabelas estatísticas: se tivermos uma tabela t com os seguintes valores críticos para 12 df:

$$\begin{array}{ c c } (2\text{-tail})& \\ α & t\\ 0.01 & 3.05\\ 0.02 & 2.68\\ 0.05 & 2.18\\ 0.10 & 1.78 \end{array}$$

Queremos o valor crítico de t com 12 df e um alfa bicaudal de 0,025. Ou seja, interpolamos entre as linhas 0,02 e 0,05 dessa tabela:

$$\begin{array}{ c c } α & t\\ 0.02 & 2.68\\ 0.025 & \text{?}\\ 0.05 & 2.18\\ \end{array}$$

O valor em " " É o valor que queremos usar para interpolação linear. (Por , na verdade quero dizer o ponto do cdf inverso de uma distribuição .)t 0,025 t 0,025 1 - 0,025 / 2 t $\text{?}$$t_{0.025}$$t_{0.025}$$1-0.025/2$$t_{12}$

Como antes, divide o intervalo de a na proporção para (ou seja, ) e o valor desconhecido deve dividir o intervalo a na mesma proporção; equivalentemente, ocorre do caminho ao longo da faixa , de modo que o valor desconhecido deve ocorrer da faixa ao longo da faixa .0,02 0,05 ( 0,025 - 0,02 ) ( 0,05 - 0,025 ) 1 : 5 t t 2,68 2,18 0,025 ( 0,025 - 0,02 ) / ( 0,05 - 0,02 ) = 1 / 6 x t 1 / 6 $0.025$$0.02$$0.05$$(0.025-0.02)$$(0.05-0.025)$$1:5$$t$$t$$2.68$$2.18$$0.025$$(0.025-0.02)/(0.05-0.02) = 1/6$$x$$t$$1/6$$t$

Isso é ou equivalente$\frac{t_{0.025}-2.68}{2.18-2.68} \approx \frac{0.025-0.02}{0.05-0.02}$

$t_{0.025} \approx 2.68 + (2.18-2.68) \frac{0.025-0.02}{0.05-0.02} = 2.68 - 0.5 \frac{1}{6} \approx 2.60$

A resposta real é ... o que não é particularmente próximo, porque a função que estamos aproximando não é muito próxima do linear nesse intervalo (mais próximo de ).α = $2.56$$\alpha = 0.5$

Melhores aproximações via transformação

Podemos substituir a interpolação linear por outras formas funcionais; com efeito, transformamos em uma escala em que a interpolação linear funciona melhor. Nesse caso, na cauda, ​​muitos valores críticos tabulados são mais quase lineares o do nível de significância. Depois de tomarmos s, simplesmente aplicamos a interpolação linear como antes. Vamos tentar isso no exemplo acima:$\log$$\log$

$$\begin{array}{ c c } α & \log(α)& t\\ 0.02 & -3.912 & 2.68\\ 0.025& -3.689 & t_{0.025}\\ 0.05 & -2.996 & 2.18\\ \end{array}$$

Agora

$$\begin{eqnarray} \frac{t_{0.025}-2.68}{2.18-2.68} &\approx& \frac{\log(0.025)-\log(0.02)}{\log(0.05)-\log(0.02)} \\ &=& \frac{-3.689 - -3.912}{-2.996 - -3.912}\\ \end{eqnarray}$$

ou equivalente

$$\begin{eqnarray} t_{0.025} &\approx& 2.68 + (2.18-2.68) \frac{-3.689 - -3.912}{-2.996 - -3.912}\\ &=& 2.68 - 0.5 \cdot 0.243 \approx 2.56 \end{eqnarray}$$

O que é correto para o número citado de figuras. Isso ocorre porque - quando transformamos a escala x logaritmicamente - o relacionamento é quase linear:

De fato, visualmente a curva (cinza) fica bem no topo da linha reta (azul).

Em alguns casos, o logit do nível de significância ( ) pode funcionar bem em uma faixa mais ampla, mas geralmente não é necessário (geralmente nos preocupamos apenas com valores críticos precisos quando é pequeno o suficiente para que funcione muito bem).$\text{logit}(\alpha)=\log(\frac{α}{1-α})=\log(\frac{1}{1-α}-1)$$\alpha$$\log$

Interpolação através de diferentes graus de liberdade

$t$ tabelas , qui-quadrado e também têm graus de liberdade, onde nem todos os valores de df ( -) são tabulados. Os valores críticos na maior parte não estão representados com exactidão por interpolação linear na DF. De fato, geralmente é mais provável que os valores tabulados sejam lineares no inverso de df, .$F$$\nu$$^\dagger$$1/\nu$

(Nas tabelas antigas, você costumava ver uma recomendação para trabalhar com - a constante no numerador não faz diferença, mas era mais conveniente nos dias pré-calculadora porque 120 tem muitos fatores, então geralmente é um número inteiro, tornando o cálculo um pouco mais simples.)$120/\nu$$120/\nu$

Veja como a interpolação inversa é executada em valores críticos de 5% de entre e . Ou seja, apenas os terminais participam da interpolação em . Por exemplo, para calcular o valor crítico para , tomamos (e observe que aqui representa o inverso do cdf):$F_{4,\nu}$$\nu = 60$$120$$1/\nu$$\nu=80$$F$

$$F_{4,80,.95} \approx F_{4,60,.95} + \frac{1/80 - 1/60}{1/120 - 1/60} \cdot (F_{4,120,.95}-F_{4,60,.95})$$

(Compare com o diagrama aqui )

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$^\dagger$ Principalmente, mas nem sempre. Aqui está um exemplo em que a interpolação linear em df é melhor e uma explicação de como dizer da tabela que a interpolação linear será precisa.

Aqui está um pedaço de uma mesa qui-quadrado

            Probability less than the critical value
 df           0.90      0.95     0.975      0.99     0.999
______   __________________________________________________

 40         51.805    55.758    59.342    63.691    73.402
 50         63.167    67.505    71.420    76.154    86.661
 60         74.397    79.082    83.298    88.379    99.607
 70         85.527    90.531    95.023   100.425   112.317

Imagine que desejamos encontrar o valor crítico de 5% (percentil 95) para 57 graus de liberdade.

Observando atentamente, vemos que os valores críticos de 5% na tabela progridem quase linearmente aqui:

(a linha verde une os valores de 50 e 60 df; você pode ver que ela toca nos pontos de 40 e 70)

Portanto, a interpolação linear fará muito bem. Mas é claro que não temos tempo para desenhar o gráfico; como decidir quando usar a interpolação linear e quando tentar algo mais complicado?

Assim como os valores de ambos os lados do que procuramos, pegue o próximo valor mais próximo (neste caso, 70). Se o valor tabulado do meio (aquele para df = 60) for próximo de linear entre os valores finais (50 e 70), a interpolação linear será adequada. Nesse caso, os valores são equidistantes, portanto é especialmente fácil: é próximo a ?$(x_{50,0.95}+x_{70,0.95})/2$$x_{60,0.95}$

Descobrimos que , que quando comparado ao valor real de 60 df, 79.082, podemos ver que é preciso quase três números completos, o que geralmente é muito bom para interpolação, portanto, neste caso, você ficaria com interpolação linear; com o passo mais preciso para o valor que precisamos, esperamos agora ter uma precisão de 3 dígitos.$(67.505+90.531)/2 = 79.018$

Então obtemos: ou$\frac{x-67.505}{79.082-67.505} \approx {57-50}{60-50}$

$x\approx 67.505+(79.082-67.505)\cdot {57-50}{60-50}\approx 75.61$ .

O valor real é 75.62375, então, de fato, obtivemos 3 números de precisão e ficamos fora apenas por 1 na quarta figura.

Uma interpolação mais precisa ainda pode ser obtida usando métodos de diferenças finitas (em particular, via diferenças divididas), mas isso provavelmente é um exagero para a maioria dos problemas de teste de hipóteses.

Se seus graus de liberdade ultrapassam as extremidades da sua mesa, esta pergunta discute esse problema.