Por que os modelos de efeitos aleatórios exigem que os efeitos não sejam correlacionados com as variáveis ​​de entrada, enquanto os modelos de efeitos fixos permitem correlação?

Da Wikipedia

Existem duas suposições comuns feitas sobre o efeito específico individual, a suposição de efeitos aleatórios e a suposição de efeitos fixos. A suposição de efeitos aleatórios (feita em um modelo de efeitos aleatórios) é que os efeitos específicos individuais não estão correlacionados com as variáveis ​​independentes. A suposição de efeito fixo é que o efeito específico individual está correlacionado com as variáveis ​​independentes. Se a suposição de efeitos aleatórios for válida, o modelo de efeitos aleatórios é mais eficiente que o modelo de efeitos fixos. No entanto, se essa suposição não se mantiver (por exemplo, se o teste de Durbin-Watson falhar), o modelo de efeitos aleatórios não será consistente.

Fiquei me perguntando por que modelos de efeito aleatório exigem que os efeitos aleatórios não sejam correlacionados com as variáveis ​​de entrada, enquanto modelos de efeito fixo permitem que os efeitos sejam correlacionados com a variável de entrada?

Obrigado!

Quando você inclui qualquer variável em uma regressão, seu coeficiente é estimado mantendo todas as outras variáveis ​​no modelo fixas. Se a variável estiver correlacionada com outra variável que não está incluída no seu modelo, seu coeficiente não poderá ser estimado mantendo a variável omitida constante. Isso leva ao viés de variáveis ​​omitidas.

A abordagem de efeitos fixos adiciona variáveis ​​ao modelo que representa os indivíduos ou grupos de interesse. Como resultado, os outros coeficientes no modelo podem ser calculados mantendo o indivíduo ou grupo fixo. Isso é conhecido como estimador interno (individual ou em grupo).

A abordagem de efeitos aleatórios não adiciona variáveis ​​ao modelo que representa os indivíduos ou grupos. Em vez disso, ele modela a estrutura de correlações dos termos de erro. Essencialmente, o efeito aleatório é visto como um deslocamento paralelo não estimado na linha de regressão e esse mesmo deslocamento se aplica a todas as observações de um indivíduo ou grupo em particular. Isso leva a que todas essas observações individuais ou em grupo sejam correlacionadas. Efeitos aleatórios modela essa correlação.

O modelo de efeito aleatório basicamente omite o efeito fixo e supera a omissão modelando a estrutura de erro. Tudo bem, desde que o efeito fixo omitido não esteja correlacionado com nenhuma variável incluída. Conforme discutido acima, essas variáveis ​​omitidas levam a estimativas de coeficientes tendenciosos.

O benefício de excluir os efeitos fixos, como o procedimento de efeitos aleatórios, é que as variáveis ​​que não variam nas observações de um indivíduo ou grupo não podem ser incluídas nos efeitos fixos devido à multicolinearidade; efeitos aleatórios são a única maneira de estimar os coeficientes para essas variáveis.

Pelo que sei, os efeitos aleatórios são uma espécie de extensão de um modelo OLS, no qual a constante é incluída no vetor de regressores, e o erro é composto por um efeito não observado (invariável no tempo) e um erro observado ( tempo variável).

Não sei muito bem como responder à sua pergunta, mas eu diria simplesmente que os modelos de ER exigem que o erro não seja correlacionado com as variáveis ​​independentes porque, se elas estiverem correlacionadas, significa que você está no caso em que as estimativas de FE são mais apropriado. Você pode testar qual deles interpreta melhor o seu conjunto de dados executando um teste de Hausman depois de executar a regressão com as duas especificações.

Isto é da Análise Econométrica de Seção Transversal e Dados de Painel, de Wooldridge:

(...)