Tenho pesquisado o significado de propriedade semi-definida positiva de matrizes de correlação ou covariância.
Estou procurando qualquer informação sobre
- Definição de semi-definição positiva;
- Suas propriedades importantes, implicações práticas;
- A consequência de ter determinante negativo, impacto na análise multivariada ou nos resultados de simulação, etc.
Respostas:
A variação de uma soma ponderada de variáveis aleatórias deve ser não-negativa para todas as opções de números reais . Como a variação pode ser expressa como temos que a matriz de covariância deve ser semidefinida positiva (que às vezes é chamada de definitiva não negativa). Lembre-se de que uma matriz é chamada semidefinida positiva se e somente seum i var ( Σ i um i X i ) = Σ i Σ j um i um j cov ( X i , X j ) = Σ i Σ j um i um j Σ i , j , Σ = [ Σ i , j ] C ∑ i ∑ j∑EuumaEuXEu umaEu
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A resposta é bem simples.
A matriz de correlação é definida assim:
A matriz de correlação é então
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(Uma possível folga no raciocínio seria minha. Não sou matemático: isso é uma representação, não uma prova, e é do meu experimento numérico, não dos livros.)
Figura 1.
Figura 2.
Fig3.
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