Soma de dois produtos normais é Laplace?

Aparentemente, é o caso em que se $X_i \sim N(0,1)$ , então

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

Já vi artigos sobre formas quadráticas arbitrárias, que sempre resultam em horríveis expressões qui-quadrado não centrais.

O simples relacionamento acima não parece óbvio para mim, então (se é verdade!) Alguém tem uma prova simples do que foi dito acima?

Uma sequência elementar de etapas usando relacionamentos conhecidos entre distribuições e uma identidade de polarização algébrica simples fornece uma demonstração elementar e intuitiva.

Eu achei essa identidade de polarização geralmente útil para raciocinar sobre e computar com produtos de variáveis ​​aleatórias, porque os reduz a combinações lineares de quadrados. É um pouco como trabalhar com matrizes diagonalizando-as primeiro. (Há mais do que uma conexão superficial aqui.)

Uma distribuição de Laplace é a diferença de dois exponenciais (o que intuitivamente faz algum sentido, porque um exponencial é uma distribuição "meio Laplace"). (O link demonstra isso manipulando funções características, mas a relação pode ser comprovada usando uma integração elementar após a definição de uma diferença como uma convolução.)

Uma distribuição exponencial (que em si é uma distribuição ) também é uma (versão em escala de a) χ 2 ( 2 ) . O factor de escala é 1 / 2 . Isso pode ser facilmente visto comparando os PDFs das duas distribuições.$\Gamma(1)$$\chi^2(2)$$1/2$

$\chi^2$$2$

A relação algébrica

$X_1X_2 + X_3X_4$$(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$$\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

$X_1X_2+X_3X_4$

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$