Densidade hiperprior para o modelo hierárquico de Gamma-Poisson

Em um modelo hierárquico de dados , onde y ~ de Poisson ( λ ) λ ~ Gama ( α , β ) parece ser típico em prática a escolher os valores ( ct , β ) de tal modo que a média e variância de distribuição gama corresponder aproximadamente a média e variância dos dados y (por exemplo, Clayton e Kaldor, 1987 "Estimativas empíricas de Bayes de riscos relativos padronizados por idade para mapeamento de doenças", Biometria ). Claramente, esta é apenas uma solução ad hoc , pois exageraria a confiança do pesquisador nos parâmetros$y$

$$y \sim \textrm{Poisson}(\lambda)$$ $$\lambda \sim \textrm{Gamma}(\alpha, \beta)$$ $\alpha, \beta)$$y$ e pequenas flutuações nos dados realizados podem ter grandes consequências para a densidade gama,mesmo queo processo de geração de dados subjacente permaneça o mesmo.$(\alpha, \beta)$

Além disso, em Bayesian Data Analysis (2ª Ed), Gelman escreve que esse método é " desleixado "; no livro e neste artigo (a partir da p. 3232), ele sugere que seja escolhida uma densidade hiper-anterior , de maneira semelhante ao exemplo dos tumores de ratos (a partir da p. 130).$p(\alpha, \beta)$

Embora esteja claro que qualquer é admissível desde que produza uma densidade posterior finita, não encontrei nenhum exemplo de densidade hiperprior que os pesquisadores usaram para esse problema no passado. Eu apreciaria muito se alguém pudesse me indicar livros ou artigos que empregaram uma densidade hiper-anterior para estimar um modelo de Poisson-Gama. Idealmente, estou interessado em p ( α , β ) que é relativamente plano e seria dominado pelos dados como no exemplo de tumor de rato ou em uma discussão comparando várias especificações alternativas e as compensações associadas a cada uma.$p(\alpha, \beta)$$p(\alpha, \beta)$

Na verdade, não estou respondendo à pergunta, já que não estou apontando para livros ou artigos que empregaram um hipermercado, mas, ao invés disso, estou descrevendo e vinculando coisas sobre produtos anteriores sobre os parâmetros Gamma.

$\lambda$$\alpha$$\beta/(1+\beta)$$(0,1)$$p = \beta/(1+\beta)$$p$

$p(\beta) \propto \beta^{-1/2}(1+\beta)^{-1}$

$\beta$$\beta$$1/\beta$$\beta$$y | \alpha, \beta$$\lambda | \alpha, \beta$$(\alpha, p)$$\alpha$$p$$\lambda$$\lambda$$\beta$

$\alpha$

$p(\alpha) \propto \sqrt{\text{PG}(1,\alpha)}$

$\text{PG}(1,\alpha) = \sum_{i=0}^{\infty}(i+\alpha)^{-2}$$1/\beta$

Se desejarmos seguir a rota Full Jeffreys, formando o verdadeiro Jeffreys anterior para os parâmetros Gamma, obteríamos:

$p(\alpha, \beta) \propto \sqrt{\alpha \text{PG}(1,\alpha)-1}/\beta$

No entanto, os prévios de Jeffreys para parâmetros multidimensionais geralmente têm propriedades ruins e características de convergência ruins (consulte o link para a aula ). Não sei se esse é o caso da gama, mas o teste forneceria algumas informações úteis.

Para mais informações sobre os priores para a gama, consulte a página 13-14 do Catálogo de Priores Não Informativos , Yang e Berger. Muitas outras distribuições também estão lá. Para uma visão geral de Jeffreys e referências anteriores, aqui estão algumas notas de aula .