Suponha que eu tenha um momento conjunto gerando a função para uma distribuição conjunta com CDF . É ambos um necessária e suficiente de condição para independência de e ? Eu verifiquei alguns livros, que mencionavam apenas a necessidade:
Esse resultado é claro, pois a independência implica . Como os MGFs dos marginais são determinados pelo MGF conjunto, temos:
Mas, depois de pesquisar on-line, encontrei apenas uma referência passageira, sem provas, para o inverso . A prova de esboço a seguir é viável?
Dado um MGF conjunto , isso determina exclusivamente as distribuições marginais de e e seus MGFs, e . Somente os marginais são compatíveis com muitas outras possíveis distribuições conjuntas e determinam exclusivamente uma distribuição conjunta na qual e são independentes, com CDF e MGF:
Portanto, se nos é dado, para o nosso MGF original, que , este é suficiente para mostrar . Então, pela unicidade dos MGFs, nossa distribuição conjunta original tem e e são independentes.
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