Razão de verossimilhança para distribuição exponencial de duas amostras

8

Sejam e duas variáveis ​​aleatórias independentes com os respectivos PDFs:XY

f(x;θi)={1θiex/θi0<x<,0<θi<0elsewhere

para . Duas amostras independentes são coletadas para testar contra dos tamanhos e dessas distribuições. Eu preciso mostrar que o LRT pode ser escrito como uma função de uma estatística com distribuição , em .i=1,2H0:θ1=θ2H1:θ1θ2n1n2ΛFH0


Como a distribuição dessa distribuição é , a estatística LRT se torna (estou ignorando algumas etapas tediosas aqui):θ^=x¯

Λ=x¯n1y¯n2(n1+n2)n1x¯+n2y¯

Eu sei que a distribuição é definida como o quociente de duas variáveis ​​aleatórias qui-quadrado independentes, cada uma sobre seus respectivos graus de liberdade. Além disso, como sob o valor nulo, então e .FXi,YiΓ(1,θ1)XiΓ(n1,θ1)YiΓ(n2,θ1)

Mas como posso proceder a partir daqui? Alguma dica?

Obrigado.

JohnK
fonte
Dica: Uma variável aleatória exponencial está linearmente relacionada a uma variável aleatória com dois graus de liberdade e, portanto, uma variável aleatória com parâmetro de ordem está linearmente relacionada a uma variável aleatória com graus de liberdade . Γ n χ 2 2 nχ2Γnχ22n
precisa saber é o seguinte
@DilipSarwate Vejo que . Devo continuar e tentar reformular minha fração de acordo com isso? Z=2θ1Xiχ2(2n1)
JohnK
2
Talvez você não precise pular as poucas etapas tediosas e realmente derivar a razão de probabilidade do zero, em vez de pular para os estimadores de probabilidade máxima . Este é um problema no teste de hipóteses e não na estimativa de probabilidade máxima de um parâmetroθi .
precisa saber é o seguinte
@DilipSarwate Você entendeu mal. Eu tenho essas etapas intermediárias escritas, mas não as apresentamos aqui. É isso que você obtém após a simplificação.
JohnK
2
Talvez você possa começar explicando para mim (a não-estatístico, a propósito) o que significa o T no LRT.
usar o seguinte código

Respostas:

4

Se a memória servir, parece que você esqueceu algo em sua estatística LR.

A função de probabilidade sob o nulo é

LH0=θn1n2exp{θ1(xi+yi)}

e o MLE é

θ^0=xi+yin1+n2=w1x¯+w2y¯,w1=n1n1+n2,w2=n2n1+n2

Então,

LH0(θ^0)=(θ^0)n1n2en1n2

Sob a alternativa, a probabilidade é

LH1=θ1n1exp{θ11(xi)}θ2n2exp{θ21(yi)}

e os MLE são

θ^1=xin1=x¯,θ^2=yin2=y¯

Então,

LH1(θ^1,θ^2)=(θ^1)n1(θ^2)n2en1n2

Considere a proporção

LH1(θ^1,θ^2)LH0(θ^0)=(θ^0)n1+n2(θ^1)n1(θ^2)n2=(θ^0θ^1)n1(θ^0θ^2)n2

=(w1+w2y¯x¯)n1(w1x¯y¯+w2)n2

As médias da amostra são independentes - então acredito que agora você pode concluir isso.

Alecos Papadopoulos
fonte
Não é muito importante, mas acho que você deve definir o LRT como o inverso da fração que você usou, consulte stats.ox.ac.uk/~dlunn/b8_02/b8pdf_8.pdf .
JohnK
O recíproco foi utilizado porque ajuda nas manipulações algébricas. Quando esta parte é feita, apenas se toma o negativo das potências externas.
Alecos Papadopoulos
Bem. Para mostrar que a fração segue uma distribuição F, basta escrevê-la como2XiX¯Y¯ , certo? 2Xi2θ1n12Yi2θ1n2
JohnK
Se esse é um "link" correto entre gama e qui-quadrado, de fato.
Alecos Papadopoulos
Sim E também temos que dividir pelos graus de liberdade,2n1. Muito obrigado. 2θ1Xiχ2(2n1)2n1
JohnK
2

A função de probabilidade dada à amostra x=(x1,,xn1,y1,,yn2) é dada por

L(θ1,θ2)=1θ1n1θ2n2exp[1θ1i=1n1xi1θ2i=1n2yi]1x>0,θ1,θ2>0

O critério de teste LR para testar H0:θ1=θ2 contra H1:θ1θ2 tem a forma

λ(x)=supθ1=θ2L(θ1,θ2)supθ1,θ2L(θ1,θ2)=L(θ^,θ^)L(θ^1,θ^2)

θ^θ1=θ2H0θ^iθii=1,2

(θ^1,θ^2)=(x¯,y¯)

θ^=n1x¯+n2y¯n1+n2

Após algumas simplificações, obtemos essa simetria para o critério LRT:

λ(x)=constant>0(n1x¯n1x¯+n2y¯)n1(n2y¯n1x¯+n2y¯)n2=constanttn1(1t1)n2, where t=n1x¯n1x¯+n2y¯=g(t),say

g

g(t)0tn1n1+n2

2n1X¯/θ1χ2n122n2Y¯/θ2χ2n22

X¯Y¯H0F2n1,2n2

v=n1x¯n2y¯

t=vv+1v

Portanto,

λ(x)<cv<c1 or v>c2

c1,c2H0

n2n1vF2n1,2n2

Teimoso
fonte