Exemplos simples de e não correlacionados, mas não independentes

Qualquer aluno que trabalha duro é um contra-exemplo para "todos os alunos são preguiçosos".

Quais são alguns exemplos simples de "se as variáveis ​​aleatórias e não são correlacionadas, são independentes"?$X$$Y$

Seja .$X\sim U(-1,1)$

Seja .$Y=X^2$

As variáveis ​​não são correlacionadas, mas dependentes.

Como alternativa, considere uma distribuição bivariada discreta que consiste em probabilidade em 3 pontos (-1,1), (0, -1), (1,1) com probabilidade 1/4, 1/2, 1/4, respectivamente. Em seguida, as variáveis ​​não são correlacionadas, mas dependentes.

Considere dados bivariados uniformes em um diamante (um quadrado girado 45 graus). As variáveis ​​serão não correlacionadas, mas dependentes.

Esses são os casos mais simples em que consigo pensar.

Penso que a essência de alguns dos contra-exemplos simples pode ser vista começando com uma variável aleatória contínua centrada em zero, ou seja, . Suponha que o pdf de seja par e definido em um intervalo da forma , em que . Agora suponha que para alguma função . Agora fazemos a pergunta: para que tipo de funções podemos ter ?E [ X ] = 0 X ( - a , a ) a > 0 Y = f ( X ) f f ( X ) C o v ( X , f ( X ) ) = $X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$$f(X)$$Cov(X,f(X))=0$

Sabemos que . Nossa suposição de que nos leva diretamente a . Denotando o pdf de via , temosE [ X ] = 0 C o v ( X , f ( X ) ) = E [ X f ( X ) ] X p $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$ .

Queremos e uma maneira de conseguir isso é garantir que seja uma função par, o que implica que é uma função ímpar. Segue-se que e, portanto, .f ( x ) x f ( x ) p ( x ) ∫ um - um x f ( x ) p ( x ) d x = 0 C O v ( X , f ( X ) ) = $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$$Cov(X,f(X))=0$

Desta forma, podemos ver que a distribuição precisa de não é importante como ao longo como a PDF é simétrica em torno de um ponto e qualquer função mesmo vai fazer para definir .f ( ⋅ ) $X$$f(\cdot)$$Y$

Felizmente, isso pode ajudar os alunos a ver como as pessoas criam esses tipos de contra-exemplos.

Seja o contra-exemplo (ou seja, aluno trabalhador)! Com isso dito:

Eu estava tentando pensar em um exemplo do mundo real e este foi o primeiro que me veio à mente. Este não será o caso matematicamente mais simples (mas se você entender este exemplo, poderá encontrar um exemplo mais simples com urnas e bolas ou algo assim).

Segundo algumas pesquisas, o QI médio de homens e mulheres é o mesmo, mas a variação do QI masculino é maior que a variação do QI feminino. Para concretização, digamos que o QI masculino segue e o QI feminino segue com . Metade da população é masculina e metade é feminina.N ( 100 , α σ 2 ) α < $N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$

Supondo que esta pesquisa esteja correta:

Qual é a correlação de gênero e QI?

O gênero e o QI são independentes?

Podemos definir uma variável aleatória discreta comP ( X = - 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = $X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

e defina$Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

É fácil verificar que e não são correlacionados, mas não independentes.$X$$Y$

Tente isto (código R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

Isso é da equação do círculo$x^2+y^2-r^2=0$

$Y$ não está correlacionado com , mas é funcionalmente dependente (determinístico). $x$

O único caso geral em que a falta de correlação implica independência é quando a distribuição conjunta de X e Y é gaussiana.

Uma resposta de duas frases: o caso mais claro de dependência estatística não correlacionada é uma função não linear de um VD, digamos Y = X ^ n. Os dois RVs são claramente dependentes, mas ainda não estão correlacionados, porque a correlação é uma relação linear.