Exemplos simples de e não correlacionados, mas não independentes

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Qualquer aluno que trabalha duro é um contra-exemplo para "todos os alunos são preguiçosos".

Quais são alguns exemplos simples de "se as variáveis ​​aleatórias e não são correlacionadas, são independentes"?XY

Clare Brown
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Acho que é uma duplicata, mas tenho preguiça de procurá-la. Tome e . , mas claramente as duas variáveis ​​não são independentes. Y = X 2 c o v ( X , Y ) = E X 3 = 0XN(0,1)Y=X2cov(X,Y)=EX3=0 0
Mvctas
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um exemplo simples (apesar de existirem talvez até mais simples)
Glen_b -Reinstate Monica
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Tome para ser distribuído uniformemente no e , . [ 0 , 2 π ] X = cos U Y = sin UU[0,2π]X=cosUY=sinvocê
Dilip Sarwate
Como o sentido de "mais simples" é indefinido, essa pergunta não é objetivamente responsável. Escolhi a duplicata em stats.stackexchange.com/questions/41317 com base na soma mais simples = menor de cardinalidades de suportes das distribuições marginais.
whuber
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@ whuber: Mesmo que "mais simples" não seja muito bem definido, as respostas aqui, por exemplo, a resposta de Glen_b estão claramente fornecendo um exemplo muito mais simples do que o tópico que você fechou como duplicado. Sugiro reabrir este (já votei) e talvez faça com que a CW destaque o fato de que "o mais simples" seja mal definido e o OP esteja talvez pedindo vários exemplos "simples".
Ameba diz Restabelecer Monica

Respostas:

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Seja .XU(1,1)

Seja .Y=X2

As variáveis ​​não são correlacionadas, mas dependentes.

Como alternativa, considere uma distribuição bivariada discreta que consiste em probabilidade em 3 pontos (-1,1), (0, -1), (1,1) com probabilidade 1/4, 1/2, 1/4, respectivamente. Em seguida, as variáveis ​​não são correlacionadas, mas dependentes.

Considere dados bivariados uniformes em um diamante (um quadrado girado 45 graus). As variáveis ​​serão não correlacionadas, mas dependentes.

Esses são os casos mais simples em que consigo pensar.

Glen_b -Reinstate Monica
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Todas as variáveis ​​aleatórias simétricas e centradas em torno de 0 não são correlacionadas?
9136 Martin Thoma
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@moose Sua descrição é ambígua. Se você quer dizer "se é simétrico em torno de zero e é simétrico em torno de zero", então não, pois uma bivariada normal com margens normais padrão pode ser correlacionada, por exemplo. Se você quer dizer "se é simétrico em relação a zero e é uma função par de ", desde que as variações existam, acredito que a resposta seja sim. Se você quer dizer outra coisa, terá que explicar. Y X Y XXYXYX
Glen_b -Reinstala Monica
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Penso que a essência de alguns dos contra-exemplos simples pode ser vista começando com uma variável aleatória contínua centrada em zero, ou seja, . Suponha que o pdf de seja par e definido em um intervalo da forma , em que . Agora suponha que para alguma função . Agora fazemos a pergunta: para que tipo de funções podemos ter ?E [ X ] = 0 X ( - a , a ) a > 0 Y = f ( X ) f f ( X ) C o v ( X , f ( X ) ) = 0XE[X]=0 0X(-uma,uma)uma>0 0Y=f(X)ff(X)Cov(X,f(X))=0 0

Sabemos que . Nossa suposição de que nos leva diretamente a . Denotando o pdf de via , temosE [ X ] = 0 C o v ( X , f ( X ) ) = E [ X f ( X ) ] X p (Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]E[X]E[f(X)]E[X]=0Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]Xp()

Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=aaxf(x)p(x)dx .

Queremos e uma maneira de conseguir isso é garantir que seja uma função par, o que implica que é uma função ímpar. Segue-se que e, portanto, .f ( x ) x f ( x ) p ( x ) um - um x f ( x ) p ( x ) d x = 0 C O v ( X , f ( X ) ) = 0Cov(X,f(X))=0f(x)xf(x)p(x)aaxf(x)p(x)dx=0Cov(X,f(X))=0

Desta forma, podemos ver que a distribuição precisa de não é importante como ao longo como a PDF é simétrica em torno de um ponto e qualquer função mesmo vai fazer para definir .f ( ) YXf()Y

Felizmente, isso pode ajudar os alunos a ver como as pessoas criam esses tipos de contra-exemplos.

Harjoat Bhamra
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Seja o contra-exemplo (ou seja, aluno trabalhador)! Com isso dito:

Eu estava tentando pensar em um exemplo do mundo real e este foi o primeiro que me veio à mente. Este não será o caso matematicamente mais simples (mas se você entender este exemplo, poderá encontrar um exemplo mais simples com urnas e bolas ou algo assim).

Segundo algumas pesquisas, o QI médio de homens e mulheres é o mesmo, mas a variação do QI masculino é maior que a variação do QI feminino. Para concretização, digamos que o QI masculino segue e o QI feminino segue com . Metade da população é masculina e metade é feminina.N ( 100 , α σ 2 ) α < 1N(100,σ2)N(100,ασ2)α<1 1

Supondo que esta pesquisa esteja correta:

Qual é a correlação de gênero e QI?

O gênero e o QI são independentes?

Har
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Podemos definir uma variável aleatória discreta comP ( X = - 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = 1X{1,0,1}P(X=1)=P(X=0)=P(X=1)=13

e definaY={1,ifX=00,de outra forma

É fácil verificar que e não são correlacionados, mas não independentes.YXY

Teimoso
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Tente isto (código R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

Isso é da equação do círculox2+y2-r2=0 0

xY não está correlacionado com , mas é funcionalmente dependente (determinístico). x

Analista
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A correlação de amostra zero não significa que a correlação verdadeira é zero.
Mvctas
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@mpiktas Se esses quatro valores representam uma distribuição bivariada, cada um com probabilidade 1/4, a corfunção que retorna zero indica uma correlação populacional de zero.
Glen_b -Reinstala Monica
@ Glen_b Eu deveria ter feito melhores comentários sobre o código. Isso pode não ser conhecido por todos. Você pode usar ponto e vírgula pensei que eu acho que não é recomendado como um estilo de codificação em R.
Analista de
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@Glen_b sim, você está correto. Mas isso não foi afirmado. Btw observação agradável.
Mvctas
1

O único caso geral em que a falta de correlação implica independência é quando a distribuição conjunta de X e Y é gaussiana.

Frederik Meinertsen
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Isso não responde diretamente à pergunta, produzindo um exemplo simples - nesse sentido, é mais um comentário -, mas fornece uma resposta indireta, na medida em que sugere um conjunto muito amplo de possíveis exemplos. Pode valer a pena reformular esta postagem para esclarecer como ela responde à pergunta original.
Silverfish 23/09
-1

Uma resposta de duas frases: o caso mais claro de dependência estatística não correlacionada é uma função não linear de um VD, digamos Y = X ^ n. Os dois RVs são claramente dependentes, mas ainda não estão correlacionados, porque a correlação é uma relação linear.

John Strong
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A menos que para algumas distribuições muito específicas de , os RVs e serão geralmente correlacionados. X Y = X nXXY=Xn
StijnDeVuyst
Esta resposta está incorreta. Em R: Expressão: {x <- runif (100); cor (x, x ^ 3)} Resultado: 0,9062057
Josh