Fórmula do estimador de regressão quantil

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Eu vi duas representações diferentes do estimador de regressão quantil que são

Q(βq)=Eu:yEuxEuβnqyEu-xEuβq+Eu:yEu<xEuβn(1 1-q)yEu-xEuβq

e

Q(βq)=Eu=1 1nρq(yEu-xEuβq),ρq(você)=vocêEu(q-1 1(vocêEu<0 0))

onde . Alguém pode me dizer como mostrar equivalência dessas duas expressões? Aqui está o que eu tentei até agora, começando na segunda expressão.vocêEu=yEu-xEuβq

Q(βq)=Eu=1 1nvocêEu(q-1 1(vocêEu<0 0))(yEu-xEuβq)=Eu=1 1n(yEu-xEuβq)(q-1 1(yEu-xEuβq<0 0))(yEu-xEuβq)=[Eu:yEuxEuβn(q(yEu-xEuβq))+Eu:yEu<xEuβn(q(yEu-xEuβq)-(yEu-xEuβq))](yEu-xEuβq)
Mas a partir deste ponto, fiquei preso em como proceder. Por favor, não que esta não seja uma pergunta de lição de casa ou tarefa. Muito Obrigado.
AlexH
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Respostas:

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Se você se lembrar, MQO minimiza a soma dos quadrados dos resíduos enquanto minimiza regressão mediana da soma dos resíduos absolutos Σ i | u i | . O estimador mediano ou de desvios mínimos absolutos (LAD) é um caso especial de regressão quantílica em que você tem q = 0,5 . Em regressão quantil nós minimizar uma soma de erros absolutos que recebe pesos assimétricos para overprediction ( 1 - q ) e qEuvocêEu2EuvocêEuq=.5(1 1-q)qpor subpredição. Você pode iniciar a partir da representação LAD e estender isso como a soma da fração dos dados que são ponderados por e ( 1 - q ), considerando seu valor de u i , e trabalhar com ela da seguinte maneira:q(1 1-q)vocêEu

ρq(você)=1 1(vocêEu>0 0)qvocêEu+1 1(vocêEu0 0)(1 1-q)vocêEu=1 1(yEu-xEuβq>0 0)qyEu-xEuβq+1 1(yEu-xEuβq0 0)(1 1-q)yEu-xEuβq
vocêEu=yEu-xEuβq

=Eu:yEu>xEuβqnqyEu-xEuβq+Eu:yEuxEuβqn(1 1-q)yEu-xEuβq=qEu:yEu>xEuβqnyEu-xEuβq+(1 1-q)Eu:yEuxEuβqnyEu-xEuβq=qEu:yEu>xEuβqn(yEu-xEuβq)-(1 1-q)Eu:yEuxEuβqn(yEu-xEuβq)=qEu:yEu>xEuβqn(yEu-xEuβq)-Eu:yEuxEuβqn(yEu-xEuβq)+qEu:yEuxEuβqn(yEu-xEuβq)=qEu=1 1n(yEu-xEuβq)-Eu=1 1n1 1(yEu-xEuβq0 0)(yEu-xEuβq)=Eu=1 1n(q-1 1(vocêEu0 0))vocêEu

yEu-xEuβqyEu<xEuβq(1 1-q)

qEu:yEu>xEuβqn(yEu-xEuβq)+qEu:yEuxEuβqn(yEu-xEuβq)=Eu=1 1n(yEu-xEuβq)
yEu-xEuβqvocêEu
Andy
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