Distribuição da razão de variáveis ​​aleatórias qui-quadrado dependentes

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Suponha que onde X iN ( 0 , σ 2 ) são independentes.X=X1+X2++XnXiN(0,σ2)

Minha pergunta é: qual distribuição faz

Z=X2X12+X22++Xn2

Segue? Eu sei daqui que a razão de duas variáveis ​​aleatórias qui-quadrado expressa como segue uma distribuição Beta. Eu acho que isso pressupõe independência entreWeY. No meu caso, porém, o denominador deZcontém os componentes deXao quadrado.WW+YWYZX

Acho que o também deve seguir uma variação da distribuição Beta, mas não tenho certeza. E se essa suposição estiver correta, não sei como provar.Z

x0dros
fonte
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Como a distribuição do denominador é invariável em rotações, você pode girar para ser igual a X, o que reduz sua pergunta a algo familiar :-). nX1
whuber
1
Tenho certeza de que @whuber significa exatamente o que foi digitado lá. Quando você diz 'nominator', você quer dizer 'numerator'?
Glen_b -Reinstala Monica
3
Quando você gira qualquer coisa, você (por definição) preserva seu comprimento. Portanto, a variação de qualquer versão rotacionada de deve ser igual à variação de X , que é 1 + 1 + + 1 = n : é aí que XX1+1++1=n termo vem. n
whuber
1
Sua resposta parece muito interessante, mas tenho algumas dúvidas. Quando você diz que eu posso girar para ficar igual a X, isso basicamente significa que eu posso reescrever o numerador deZcomonX 2 1 e, consequentemente, opróprioZse transforma emn X 2 1nX1ZnX12Z . Agora, se eu assumirW=X 2 1 eY=X 2 2 ++X 2 n e comoWeYforem independentes, posso assumir queZ=nWnX12X12+X22++Xn2W=X12Y=X22++Xn2WY tem umadistribuiçãoβe assim por diante. Estou entendendo o seu ponto até agora? Então, aqui está a minha confusão. Antes de utilizar o conceito de invariância rotacional e modifyiZ=nWW+Yβ
ssaH
2
@ssah Você errou na aplicação do meu raciocínio: sem o no denominador, sua distribuição não é mais invariável a rotações arbitrárias de ( X 1 , , X n ) e , portanto, as conclusões não são mais válidas. X12(X1,,Xn),
whuber

Respostas:

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Este post detalha as respostas nos comentários da pergunta.


Seja . Fixe qualquer e 1R n do comprimento da unidade. Esse vetor sempre pode ser completado em uma base ortonormal ( e 1 , e 2 , , e n ) (por meio do processo de Gram-Schmidt , por exemplo). Essa mudança de base (da habitual) é ortogonal: não muda de comprimento. Assim, a distribuição deX=(X1,X2,,Xn)e1Rn(e1,e2,,en)

(e1X)2||X||2=(e1X)2X12+X22++Xn2

não depende de . Tomando e 1 = ( 1 , 0 , 0 , , 0 ) mostra que esta tem a mesma distribuição quee1e1=(1,0,0,,0)

(1)X12X12+X22++Xn2.

Uma vez que o são iid normal, que pode ser escrito como σ vezes iid variáveis normal padrão Y 1 , ... , Y N e seus quadrados são σ 2 vezes y ( 1 / 2 ) distribuições. Uma vez que a soma de n - 1 independente Γ ( 1 / 2 ) distribuições está Γ ( ( N - 1 ) / 2 )XiσY1,,Ynσ2Γ(1/2)n1Γ(1/2)Γ((n1)/2), determinamos que a distribuição de é a de(1)

σ2Uσ2U+σ2V=UU+V

onde e V = ( X 2 2 + + X 2 n ) / σ 2 ~ Γ ( ( N - 1 ) / 2 ) são independentes. Ele é bem conhecido que esta razão tem uma Beta ( 1 / 2 , ( n - 1U=X12/σ2Γ(1/2)V=(X22++Xn2)/σ2Γ((n1)/2) distribuição. (Veja também o tópico estreitamente relacionado naDistribuição de X Y se X Beta ( 1 , K - 1 ) e Y qui-quadrado com 2 K. graus.)(1/2,(n1)/2)XYX(1,K1)Y2K

Como

X1++Xn=(1,1,,1)(X1,X2,,Xn)=ne1X

para o vetor de unidade , concluímos queZé(e1=(1,1,,1)/nZvezes por Beta(1/2,(n-1)/2)variado. (n)2=n(1/2,(n1)/2) Para, portanto, possui função de densidaden2

fZ(z)=n1n/2B(12,n12)(nz)n3z

no intervalo (e, caso contrário, é zero).(0,n)


Como um controlo, eu simulado realizações independentes de Z para σ = 1 e n = 2 , 3 , 10 , representados graficamente os seus histogramas, e sobreposto o gráfico da densidade Beta correspondente (em vermelho). Os acordos são excelentes.100,000Zσ=1n=2,3,10

Figura

Rsum(x)^2 / sum(x^2)Zxnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}
whuber
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