Suponha que onde X i ∼ N ( 0 , σ 2 ) são independentes.
Minha pergunta é: qual distribuição faz
Segue? Eu sei daqui que a razão de duas variáveis aleatórias qui-quadrado expressa como segue uma distribuição Beta. Eu acho que isso pressupõe independência entreWeY. No meu caso, porém, o denominador deZcontém os componentes deXao quadrado.
Acho que o também deve seguir uma variação da distribuição Beta, mas não tenho certeza. E se essa suposição estiver correta, não sei como provar.
Respostas:
Este post detalha as respostas nos comentários da pergunta.
Seja . Fixe qualquer e 1 ∈ R n do comprimento da unidade. Esse vetor sempre pode ser completado em uma base ortonormal ( e 1 , e 2 , … , e n ) (por meio do processo de Gram-Schmidt , por exemplo). Essa mudança de base (da habitual) é ortogonal: não muda de comprimento. Assim, a distribuição deX=(X1,X2,…,Xn) e1∈Rn (e1,e2,…,en)
não depende de . Tomando e 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) mostra que esta tem a mesma distribuição quee1 e1=(1,0,0,…,0)
Uma vez que o são iid normal, que pode ser escrito como σ vezes iid variáveis normal padrão Y 1 , ... , Y N e seus quadrados são σ 2 vezes y ( 1 / 2 ) distribuições. Uma vez que a soma de n - 1 independente Γ ( 1 / 2 ) distribuições está Γ ( ( N - 1 ) / 2 )Xi σ Y1,…,Yn σ2 Γ(1/2) n−1 Γ(1/2) Γ((n−1)/2) , determinamos que a distribuição de é a de(1)
onde e V = ( X 2 2 + ⋯ + X 2 n ) / σ 2 ~ Γ ( ( N - 1 ) / 2 ) são independentes. Ele é bem conhecido que esta razão tem uma Beta ( 1 / 2 , ( n - 1U=X21/σ2∼Γ(1/2) V=(X22+⋯+X2n)/σ2∼Γ((n−1)/2) distribuição. (Veja também o tópico estreitamente relacionado naDistribuição de X Y se X ∼ Beta ( 1 , K - 1 ) e Y ∼ qui-quadrado com 2 K. graus.)(1/2,(n−1)/2) XY X∼ (1,K−1) Y∼ 2K
Como
para o vetor de unidade , concluímos queZé( √e1=(1,1,…,1)/n−−√ Z vezes por Beta(1/2,(n-1)/2)variado. (n−−√)2=n (1/2,(n−1)/2) Para, portanto, possui função de densidaden≥2
no intervalo (e, caso contrário, é zero).(0,n)
Como um controlo, eu simulado realizações independentes de Z para σ = 1 e n = 2 , 3 , 10 , representados graficamente os seus histogramas, e sobreposto o gráfico da densidade Beta correspondente (em vermelho). Os acordos são excelentes.100,000 Z σ=1 n=2,3,10
R
sum(x)^2 / sum(x^2)
x
n
rnorm
for
apply
hist
curve
fonte