A média e a variação sempre existem para distribuições familiares exponenciais?

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Suponha que uma variável aleatória escalar pertença a uma família exponencial de parâmetro vetorial com pdfX

fX(x|θ)=h(x)exp(i=1sηi(θ)Ti(x)A(θ))

onde θ=(θ1,θ2,,θs)T é o vetor de parâmetro e T(x)=(T1(x),T2(x),,Ts(x))T é a estatística suficiente da junta.

Pode-se mostrar que a média e a variação para cada Ti(x) existem. No entanto, a média e a variância para X (ou seja, E(X) e Var(X) ) sempre existem também? Caso contrário, existe um exemplo de uma distribuição familiar exponencial dessa forma cuja média e variável não existem?

Obrigado.

Wei
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Respostas:

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Tomando , , , e fornece fornecido , produzindos=1h(x)=1η1(θ)=θT1(x)=log(|x|+1)A(θ)=log(2/(1+θ))θ<1

fX(x|θ)=exp(θlog(|x|+1)log(21+θ))=1+θ2(1+|x|)θ.

Figura

Os gráficos de são mostrados para (em azul, vermelho e dourado, respectivamente).fX( |θ)θ=3/2,2,3

Claramente, os momentos absolutos dos pesos ou superior não existem, porque o integrando , que é assintoticamente proporcional a , produzirá uma integral convergente nos limites se e somente se . Em particular, quando essa distribuição nem sequer tem uma média (e certamente não uma variação).α=1θ|x|αfX(x|θ)|x|α+θ±α+θ<12θ<1,

whuber
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Eu não entendo a condição . Você quer dizer ? Quando , não está definido e é negativo e não pode ser um pdf Por favor, deixe-me saber o que eu perdi. Obrigado. θ<1θ>1θ<1A(θ)fX(x|θ)
21314 Wei
Peço desculpas, pois um sinal de menos foi omitido no cálculo do . Eu o substituí nas fórmulas. Eu realmente quero dizer . Aθ<1
whuber
Obrigado pelo exemplo. Eu concordo com os momentos de. E os momentos do próprio ? Por exemplo, quando no seu exemplo acima, existe? |x|x2<θ<1E(x)
Wei
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Como a integral de Lebesgue é definida em termos das partes positiva e negativa do integrando, os momentos de existem se e somente se os momentos deexistir. x|x|
whuber
@ Wei: existe apenas se . Sem essa restrição, a expectativa não é definida exclusivamente para alguns CDFs. E{g(X)}E{|g(X)|}<
Dennis