Distribuição da convolução das variáveis ​​normal ao quadrado e qui-quadrado?

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o seguinte problema surgiu recentemente ao analisar dados. Se a variável aleatória X segue uma distribuição normal e Y segue uma (com n dof), como é distribuído ? Até agora, eu o pdf de : Z = X 2 + Y 2 Y 2 ψ 2 n ( x )χn2Z=X2+Y2Y2

ψn2(x)=F(x)x=(0xtn/21et/22n/2Γ(n/2)dt)x=12n/2Γ(n/2)(x)n/21ex/2(x)x=12n/21Γ(n/2)xn/41ex/2

bem como algumas simplificações para a integral de convolução ( X2 tem o pdf χm2 com m dof):

Kmn(t):=(χm2ψn2)(t)=0tχm2(x)ψn2(tx)dx=(2(n+m)2+1Γ(m2)Γ(n2))10t(tx)n41xm21exp((tx+x)/2)dx

Alguém vê uma boa maneira de calcular essa integral para qualquer valor real ou precisa ser computado numericamente? Ou estou perdendo uma solução muito mais simples?

Leo Szilard
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Se o Y não fosse quadrado, eu teria alguns conselhos específicos. Eu não acho que este seja tratável (nem necessariamente particularmente esclarecedor, mesmo que isso se mostre tratável). Eu ficaria tentado a olhar para abordagens computacionais, como convolução numérica ou simulação, dependendo exatamente do que você deseja fazer com o resultado.
Glen_b -Reinstala Monica 23/03
É muito improvável, na minha opinião, que a integral possa ser feita.
Dave31415
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@ Dave31415 Para n e m par, a integral pode ser explicitamente calculada para valores integrais positivos de n e m . Será igual a uma combinação linear de exponenciais e funções de erro com coeficientes que são polinômios em t . A avaliação pode ser realizada através da substituição x=tu2 . Por exemplo, com n=2,m=4 , obtemos 14e18(2t+1)2(et2(2π(4t+3)(erfi(2t122)+erfi(122))+4e18)4et2+18(2t+1)) .
whuber
Agradável. Para números ímpares, você provavelmente poderia aproximar a média do resultado para limitar números pares? Ou talvez não.
Dave31415
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Obrigado por suas respostas! Para alguns casos, até mesmo-mesmo eu tenho um resultado semelhante envolvendo função de Dawson, mas parece que eu vou ter que fazer mais algum trabalho para uma solução geral ...
Leo Szilard

Respostas:

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Caso isso ajude, a variável é uma variável aleatória gama generalizada (veja, por exemplo, Stacy 1962). Sua pergunta está pedindo a distribuição da soma de uma variável aleatória qui-quadrado e uma variável aleatória gama generalizada. Que eu saiba, a densidade da variável resultante não tem expressão de forma fechada. Portanto, a convolução obtida é uma integral sem solução de forma fechada. Eu acho que você ficará preso com uma solução numérica para esta.Y2


Stacy, EW (1962). Uma generalização da distribuição gama. Annals of Mathematics Statistics 33 (3) , pp. 1187-1192.

Restabelecer Monica
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Esta é apenas uma dica. O tipo III de Pearson pode ser qui-quadrado. Às vezes, uma convolução pode ser encontrada, envolvendo algo consigo mesmo. Consegui fazer isso para convencer ND e GD , para os quais convolvi um Pearson III consigo mesmo. Como isso funciona com ND e Qui-quadrado, não tenho certeza. Mas você pediu dicas, e esta é uma dica geral. Isso deve ser o suficiente para você começar, espero.2

Carl
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Você poderia explicar como isso responde à pergunta? Não parece diretamente relacionado.
whuber
A convolução do tipo III de Pearson consigo mesma pode ser feita. Por alguma razão, convolver uma coisa consigo mesma é mais fácil de resolver do que convolver uma coisa com outra. Por exemplo, resolvi a convolução de Pearson tipo III e obtive as convoluções de ND com GD, um problema relacionado.
Carl
Não parece ter ajudado, será excluído em breve.
Carl