Esta questão está relacionada ao artigo Geometria Diferencial de Famílias Exponenciais Curvas - Curvaturas e Perda de Informação por Amari.
O texto é o seguinte.
Seja uma variedade dimensional de distribuições de probabilidade com um sistema de coordenadas , onde é assumido ...
Podemos considerar cada ponto de como portador de uma função de ...
Seja o espaço tangente de em , que é, grosso modo, identificado com uma versão linearizada de uma pequena vizinhança de em . Seja a base natural de associada ao sistema coordenado ... S n θ θ S n e i ( θ ) , i = 1 , … , n T θ
Como cada ponto de possui uma função de , é natural considerar em como representando a função
Eu não entendo a última afirmação. Isso aparece na seção 2 do documento mencionado acima. Como a base do espaço tangente é dada pela equação acima? Seria útil se alguém nesta comunidade familiarizada com esse tipo de material pudesse me ajudar a entender isso. Obrigado.
Atualização 1:
Embora eu concorde que (de @aginensky) se são linearmente independentes, então também são linearmente independentes, como esses são membros do espaço tangente em primeiro lugar não é muito claro. Então, como ser considerado como base para o espaço tangente. Qualquer ajuda é apreciada.
Atualização 2:
@aginensky: Em seu livro, Amari diz o seguinte:
Vamos considerar o caso em que , o conjunto de todas as medidas de probabilidade (estritamente) positivas em , em que consideramos como um subconjunto de . De fato, é um subconjunto aberto do espaço afim .X = { x 0 , … , x n } P ( X ) R X = { X | X : X → R } P ( X ) { X | Σ x X ( x ) = 1 }
Então, o espaço tangente de em todos os pontos pode ser naturalmente identificado com o subespaço linear . Para a base natural de um sistema de coordenadas , temos .S n A 0 = { X | Σ x X ( x ) = 0 } ∂ θ=(θ1,...,θn)(∂
Em seguida, vamos usar outro incorporado e identificar com o subconjunto de . Um vetor tangente é então representado pelo resultado da operação de em , que denotamos por . Em particular, temos . É óbvio que e que S n log S n : = { log p | p ∈ S nR X X ∈ T p ( S n ) X p ↦ log p X ( e ) ( ∂X(e)=X(x)/p(x)t ( E ) p (Sn)={X(e)| X∈Tp(Sn)}={A∈RX| ΣxA(x)p(x
Minha pergunta: se e são a base para o espaço tangente, isso não contradiz o fato de que e são distintos e ? (∂TpT ( e ) p ∂
Eu acho que parece haver uma associação entre ( ) e . Se você puder esclarecer isso, seria de grande ajuda. Você pode dar como resposta. ( log S n , T ( e ) p )
Respostas:
Meus comentários são tão longos que estou colocando-os como resposta.
Eu acho que a questão é mais filosófica do que matemática neste momento. Ou seja, o que você quer dizer com espaço, e neste caso, uma variedade? A definição típica de uma variedade não envolve uma incorporação em um espaço afim. Essa é a abordagem 'moderna' (150 anos?). Por exemplo, para Gauss, um coletor era um coletor com uma incorporação específica em um espaço afim específico ( ). Se alguém tem um coletor com uma incorporação em um específico , então o espaço tangente (em qualquer ponto do coletor) é isomórfico para um subespaço específico do espaço tangente para nesse ponto. Observe que o espaço tangente a em qualquer ponto é identificado com o 'mesmo' . R n R n R n R nRn Rn Rn Rn Rn
Penso que o argumento é que, no artigo de Amari, o espaço a que ele se refere como vem com alguma incorporação "natural" em um espaço afim com coordenadas para as quais o pode ser considerado como coordenadas no espaço tangente de . Devo acrescentar que fica claro se a função é 'geral' em algum sentido - para degenerado , isso falhará. Por exemplo, se a função não envolver todas as variáveis . O ponto principal é que essa incorporação do coletor em um específico dá origem a uma identificação específica do espaço tangente com oθ i p θSn θi pθ p p θ i R n p θ pSn p p θi Rn pθ . Seu próximo ponto é que, devido às propriedades de , ele pode mapear sua variedade usando a função log para outro espaço afim no qual o espaço tangente tem uma identificação diferente em termos das novas coordenadas (os logs e suas derivadas). Ele então diz que, devido às propriedades de sua situação, as duas variedades são isomórficas e o mapa induz um isomorfismo nos espaços tangentes. Isso leva a uma identificação (ou seja, isomorfismo) dos dois espaços tangentes. p
A idéia principal é que os dois espaços tangentes não sejam os mesmos conjuntos, mas sejam isomórficos (que são basicamente gregos para 'iguais') após a identificação correta. Por exemplo, o grupo de todas as permutações de o 'mesmo' grupo que o grupo de todas as permutações de ? Como um experimento simples, considere , os reais positivos mapeados para , todos os reais no log do mapa. Escolha seu número real favorito e considere o mapa em espaços tangentes. Finalmente estou entendendo sua pergunta? Uma ressalva é necessária, a saber, que a geometria diferencial não é minha principal área de especialização. Acho que entendi direito, mas sinta-se à vontade para criticar ou ainda questionar esta resposta.{ a , b , c } R + R > 0{1,2,3} {a,b,c} R+ R >0
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