Uma família exponencial crescente estocticamente para a qual

Questão

Uma coisinha que venho pensando há algum tempo:

Vamos $P_\theta$ ser estocasticamente um aumento (de um parâmetro) família exponencial na amostra espaço $\mathcal{X}$ com $\Theta\subset\mathbb{R}$ sendo o seu espaço de parâmetros natural, isto é $\Theta$ sendo o conjunto de valores para os quais a CDF $F_\theta$ define uma medida de probabilidade. É sempre verdade que

$$F_\theta(x)\nearrow 1\qquad\mbox{as}\qquad\theta\searrow \inf\Theta,$$ e $$F_\theta(x)\searrow 0\qquad\mbox{as}\qquad\theta\nearrow \sup\Theta$$ para todos$x\in\mathcal{X}$ que não estão no limite de$\mathcal{X}$ ?

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Definições, um exemplo, especulação

Uma distribuição $P_\theta$ sobre $\mathcal{X}$ parametrizada por $\theta\in\Theta$ aumenta estocticamente se, para fixo mas arbitrário x ∈ $x\in\mathcal{X}$ , $F_\theta(x)$ está diminuindo em $\theta$ , onde $F_\theta(x)=\mbox{P}_\theta(X\leq x)$ .

$\mathcal{X}=\{0,1,2,\ldots,n\}$$\Theta=(0,1)$

$$F_\theta(x)=\sum_{k\leq x}{\binom{n}{k}}\theta^k(1-\theta)^{n-k}$$ $\theta$

Nesta configuração, temos e para todos os não estão no limite de . No limite, ou seja, quando , apenas um dos limites é atingido.

$$F_\theta(x)\nearrow 1\qquad\mbox{as}\qquad\theta\searrow \inf\Theta=0,$$ $$F_\theta(x)\searrow 0\qquad\mbox{as}\qquad\theta\nearrow \sup\Theta=1$$ $x$$\mathcal{X}$$x\in \{0,n\}$

Observe que se restringirmos o espaço do parâmetro a um subconjunto adequado de , como , isso não será mais verdadeiro: como .$(0,1)$$(0.2,0.8)$$F_\theta(5)\nearrow F_{0.2}(5)=0.174\ldots<1$$\theta\searrow \inf\Theta=0.2$

Essa propriedade parece valer para todas as famílias exponenciais comumente usadas, portanto, meu palpite seria que, se existir um contraexemplo, deve ser um tanto patológico. Talvez pudesse envolver funções que causam explodir por algum finito , tornando sua integral infinita. Em certo sentido, isso tornaria o espaço do parâmetro "restrito".$\exp(<\theta,T(x)>)$$(\theta,x)$

Um exemplo "trivial" é talvez a distribuição de Bernoulli (p), já que seu espaço de amostra é igual a seu próprio limite, de modo que apenas um dos limites pode ser atingido para cada ponto no espaço de amostra. Mas isso é um pouco chato, e eu prefiro ter um exemplo em que pelo menos um ponto do espaço da amostra não esteja no limite.

Se forem permitidas descontinuidades na densidade, é possível construir uma distribuição que se repita por dois intervalos consecutivos, que limita o CDF no primeiro intervalo para e no segundo intervalo para . Por exemplo, deixe Agora, para uma densidade proporcional a , o CDF é $[0,0.5]$$[0.5,1]$

$$\begin{equation} h(x) = 1, x\in [0,4] \end{equation}$$ $$\begin{equation} T(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \quad x \in [0,1) \cup[2,3) \\ 2 & \quad x \in [1,2) \cup [3,4] \end{array} \right. \end{equation}$$ $h(x)e^{\theta T(x)}$ $$\begin{equation} F_\theta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}\,\frac{x}{1+e^\theta} & \quad x \in [0,1) \\ \frac{1}{2}\, \frac{1 + (x-1)e^\theta}{1+e^\theta} & \quad x \in [1,2) \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,\frac{x-2}{1+e^\theta} & \quad x \in [2,3) \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\, \frac{1 + (x-3)e^\theta}{1+e^\theta} & \quad x \in [3,4) \\ \end{array} \right. \end{equation}$$ que está diminuindo como uma função de para qualquer no espaço de amostra, mas, por exemplo, $\theta$$x$ $$\begin{equation} \lim_{\theta \rightarrow \infty} F_\theta(2.1) = \frac{1}{2}. \end{equation}$$

Com base nos comentários, não estamos restritos a considerar o parâmetro natural, mas podemos usar a forma geral Nesse caso, é possível 'trapacear' construindo para que alguns valores no espaço natural de não sejam alcançados com nenhum . Por exemplo, vamos Isso é uma distribuição exponencial (estranhamente parametrizada) com CDF que é uma diminuição função para conforme desejado. Contudo,

$$\begin{equation} f_\theta(x) \propto h(x) e^{T(x)\eta(\theta)} \end{equation}$$ $\eta$$\eta$$\theta$ $$\begin{equation} f_\theta(x) \propto e^{-x\,\frac{1}{1+e^\theta}},~x\geq0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} F_\theta(x) = 1 - e^{-x / ({1+e^\theta})}, \end{equation}$$ $\theta$ $$\begin{equation} \lim_{\theta\rightarrow -\infty} F_\theta(x) = 1-e^{-x} < 1. \end{equation}$$ O caso da parametrização natural permanece aberto (pelo menos para mim).$(\eta(\theta) = \theta)$