Qual é o objetivo das funções características?

Espero que alguém possa explicar, em termos leigos, o que é uma função característica e como é usada na prática. Eu li que é a transformação de Fourier do pdf, então acho que sei o que é, mas ainda não entendo seu propósito. Se alguém pudesse fornecer uma descrição intuitiva de seu objetivo e talvez um exemplo de como é normalmente usado, isso seria fantástico!

Apenas uma última observação: eu vi a página da Wikipedia , mas aparentemente sou muito densa para entender o que está acontecendo. O que estou procurando é uma explicação que alguém que não esteja imerso nas maravilhas da teoria das probabilidades, diz um cientista da computação, possa entender.

Antigamente, as pessoas usavam tabelas de logaritmo para multiplicar números mais rapidamente. Por que é isso? Os logaritmos convertem multiplicação em adição, pois . Assim, a fim de se multiplicam duas grandes números de e , que encontrou seus logaritmos, adicionados os logaritmos, , e, em seguida, olhou-se na outra tabela.a b z = log ( a ) + log ( b ) exp ( z $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$$a$$b$$z = \log(a) + \log(b)$$\exp(z)$

Agora, funções características fazem uma coisa semelhante para distribuições de probabilidade. Suponha que tenha uma distribuição e tenha uma distribuição , e e sejam independentes. Então a distribuição de é a convolução de e , .f Y g X Y X + Y f g f ∗ $X$$f$$Y$$g$$X$$Y$$X+Y$$f$$g$$f * g$

Agora a função característica é uma analogia do "truque da tabela de logaritmos" para convolução, pois se é a função característica de , então a seguinte relação é válida:$\phi_f$$f$

Além disso, também como no caso dos logaritmos, é fácil encontrar o inverso da função característica: dado onde h é uma densidade desconhecida, podemos obter h pela transformada inversa de Fourier de ϕ h .$\phi_h$$h$$h$$\phi_h$

A função característica converte convolução em multiplicação para funções de densidade da mesma maneira que os logaritmos convertem multiplicação em adição para números. Ambas as transformações convertem uma operação relativamente complicada em uma operação relativamente simples.

@ charles.y.zheng e @ cardinal deram respostas muito boas, vou adicionar meus dois centavos. Sim, a função característica pode parecer complicação desnecessária, mas é uma ferramenta poderosa que pode gerar resultados. Se você estiver tentando provar algo com a função de distribuição cumulativa, é sempre recomendável verificar se não é possível obter o resultado com a função característica. Isso às vezes fornece provas muito curtas.

Embora, a princípio, a função característica pareça uma maneira não intuitiva de trabalhar com distribuições de probabilidade, existem alguns resultados poderosos diretamente relacionados a ela, o que implica que você não pode descartar esse conceito como um mero divertimento matemático. Por exemplo, meu resultado favorito na teoria das probabilidades é que qualquer distribuição infinitamente divisível tem a representação única de Lévy – Khintchine . Combinado com o fato de que as distribuições infinitamente divisíveis são a única distribuição possível para limites de somas de variáveis ​​aleatórias independentes (excluindo casos bizarros), esse é um resultado profundo usando o qual o teorema do limite central é derivado.

O objetivo das funções características é que elas podem ser usadas para derivar as propriedades das distribuições na teoria das probabilidades. Se você não está interessado em tais derivações, não precisa aprender sobre funções características.

A função característica é a transformada de Fourier da função de densidade da distribuição. Se você tem alguma intuição em relação às transformadas de Fourier, esse fato pode ser esclarecedor. A história comum sobre transformadas de Fourier é que elas descrevem a função 'no espaço de frequências'. Como uma densidade de probabilidade geralmente é unimodal (pelo menos no mundo real ou nos modelos criados sobre o mundo real), isso não parece muito interessante.

A transformação de Fourier é uma decomposição da função (não periódica) em suas frequências. Interpretação para densidades?

A transformação de Fourier é a versão contínua de uma série de Fourier, uma vez que nenhuma densidade é periódica, nenhuma expressão como "série característica".