MLE do parâmetro location em uma distribuição Cauchy

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Após a centralização, as duas medidas x e −x podem ser consideradas observações independentes de uma distribuição de Cauchy com função de densidade de probabilidade:

f(x:θ)= 1π(1+(xθ)2) ,<x<

Mostre que se o MLE de θ é 0, mas se x 2 > 1, existem dois MLE de θ , iguais a ± x21θx2>1θx21

Eu acho que para encontrar o MLE eu tenho que diferenciar a probabilidade de log:

=2(xi-θ)dldθ = =2(-x-θ)2(xiθ)1+(xiθ)2 = +2(x-θ)2(xθ)1+(xθ)2 =02(xθ)1+(xθ)2 =0

Então,

=2(x+θ)2(xθ)1+(xθ)2 = 2(x+θ)1+(xθ)2

que eu simplifiquei até

5x2=3θ2+2θx+3

Agora eu bati em uma parede. Provavelmente eu errei em algum momento, mas, de qualquer maneira, não tenho certeza de como responder à pergunta. Alguém pode ajudar?

user123965
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Por favor, explique por que você dividiu x em -x e + x? Este é o meu dever de casa e estou ficando preso nessa etapa. Eu acho que você aplicou o Método Raphson de Newton a ele. Mas não estou aprendendo como aplicá-lo. Por favor, me diga?
user89929

Respostas:

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Há um erro de digitação em matemática em seus cálculos. A condição de primeira ordem para um máximo é:

Lθ=02(x+θ)1+(x+θ)22(xθ)1+(xθ)2=0(x+θ)+(x+θ)(xθ)2(xθ)(xθ)(x+θ)2=02θ+(x+θ)(xθ)[xθ(x+θ]=02θ2θ(x+θ)(xθ)=02θ2θ(x2θ2)=02θ(1x2+θ2)=02θ(θ2+(1x2))=0

If x21 then the term in the parenthesis cannot be zero (for real solutions of course), so you are left only with the solution θ^=0.

If x2>1 you have 2θ[θ2(x21)]=0 so, apart from the candidate point θ=0 you also get

Lθ=0,forθ^=±x21

You also have to justify why in this case θ^=0 is no longer an MLE.

ADDENDUM

For x=±0.5 the graph of the log-likelihood is enter image description here

while for x=±1.5 the graph of the log-likelihood is, enter image description here

Now all you have to do is to prove it algebraically and then wonder "fine -now which of the two should I choose?"

Alecos Papadopoulos
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Thanks! I can't see why θ=0 would no longer be an MLE though
user123965
Work the 2nd order condition for a maximum, or evaluate the likelihood at the candidate solutions
Alecos Papadopoulos
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+1 great answer. Also, this might be interesting: wolframalpha.com/share/… wolframalpha.com/share/…
random_user
@random_user Thanks! - I took the liberty to incorporate the plot in the answer.
Alecos Papadopoulos
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2nd derivative positive so indeed a local minimum
Alecos Papadopoulos