Teorema da expectativa total para processos de Poisson

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Eu tenho dois processos Poisson independentes e com taxas de chegada e , respectivamente. Agora, o tempo esperado para a chegada do próximo item para o processo mesclado deve ser .ABλAλB1λA+λB

Supondo que seja a hora de chegada do próximo item do processo combinado e ou como os eventos dos itens dos processos ou , usando a lei das expectativas totais, obtemosTA+B{X=A}{X=B}AB

E(TA+B)=E(TA+BX=A)P[X=A]+E(TA+BX=B)P[X=B]=1λAλAλA+λB+1λBλBλA+λB=2λA+λB
O que estou fazendo de errado? Obrigado.
user90476
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A questão parece ser que a esperança condicional não é vez que você sabe que a primeira chegada é a partir de processo . 1 / a AE[TX=A]1/aA
Heropup
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@heropup Obrigado pela resposta. Dada a distribuição exponencial da próxima hora de chegada, não sei por que não deveria ser . 1λA
User90476

Respostas:

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Heropup está certo. O problema é que uma vez que você sabe que , não é meramente tirada do exponencial com taxa de desde que você também sabe que o valor amostrado teve de ser pequeno o suficiente para vencer a comparação com o valor amostrado hipotética de .X λ A BX=AXλAB

Portanto, a densidade dada que é o produto pontual renormalizado da densidade de uma exponencial com taxa e o cdf correto de uma exponencial com taxa . Isso fornece uma densidade exponencial com taxa . Assim:λ A λ B λ A + λ BX=AλAλBλA+λB

E(TA+B)=E(TA+BX=A)P[X=A]+E(TA+BX=B)P[X=B]=1λA+λBλAλA+λB+1λA+λBλBλA+λB=1λA+λB
conforme desejado.
Neil G
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Pr(TA+B>tX=A)=Pr(TA+B>t & X=A)Pr(X=A)(1)=Pr(t<TA<TB)Pr(X=A),
and Pr(t<TA<TB)=t(ueλAueλBv(λBdv))(λAdu)=teλAueλBu(λAdu)=e(λA+λB)tλAλA+λB.
(1)e(λA+λB)t,Pr(TA+B>t).

Assim, os eventos e são realmente independentes.[TA+B>t][X=A]

Michael Hardy
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