Minha intuição sempre foi que, quando qualquer esfera é projetada no espaço 2D, o resultado sempre será matematicamente uma elipse (ou um círculo em casos degenerados).

No passado, quando eu estava ativamente fazendo minha própria programação gráfica e discutindo isso com outras pessoas, eles afirmavam que eu estava errado. Se bem me lembro, eles acreditavam que o resultado poderia ser algo vagamente "em forma de ovo".

Quem estava certo?

Como já existe uma resposta enviada, não desejo alterar totalmente minha pergunta, mas percebo que deixei de fora detalhes importantes devido à perda de familiaridade com o campo ao longo dos anos.

Eu pretendia perguntar especificamente sobre projeção em perspectiva onde a projeção é uma aplicação linear .

As outras projeções são, obviamente, interessantes para muitos usos, então eu não gostaria que elas fossem removidas neste momento. Mas seria ótimo se as respostas pudessem ter a projeção em perspectiva como a seção mais importante.

Assumindo uma projeção em perspectiva e um ponto de vista externo à esfera, o 'limite' formado pelo ponto de vista e o círculo na esfera que forma o horizonte WRT o ponto de vista serão um cone.

Fazer uma projeção em perspectiva (em um plano) é equivalente a cruzar esse cone com o plano que produz uma seção cônica. Para sua informação, os quatro casos não degenerados são mostrados nesta imagem da Wikipedia

Uma elipse / círculo é, portanto, uma possibilidade, mas não a única - parábolas ou hipérboles ilimitadas (e acho que se o avião passa pelo olho, até casos degenerados) são possíveis.

É mais como um longo comentário à resposta do @ SimonF que estou tentando tornar um pouco independente.

Todos os cortes de cone são possíveis, hipérbole, parábola e ovais. Isso é fácil de testar desenhando imagens em um mecanismo 3D por uma câmera de ângulo extremamente amplo. Gire a câmera para dizer em um ângulo de 30 graus para que o objeto não fique no meio do seu foco. Em seguida, mova a câmera gradualmente para mais perto da esfera.

Imagem 1: Voando muito perto de uma esfera, olhando ligeiramente de lado. Observe como perfuramos repentinamente a superfície da forma interna.

Então, para recapitular quando a esfera está muito próxima e sai da imagem em imagem ampla, pode ser uma parábola ou hipérbole. Mas a forma sairá do quadro para fazer isso.

Os sistemas de projeção são usados ​​para converter uma forma 3D em uma forma plana (2D).

De acordo com o tipo de sistema de projeção, diferentes resultados e formas, como retângulos, tortas, elipses, círculos, ... podem ser produzidos a partir de uma esfera.

Os sistemas de projeção podem ser classificados pelas características do resultado que geram.

Para continuar, eu gostaria de usar um exemplo muito palpável e comum que todos nós já vimos antes, esfera da Terra e mapas globais, eles estão por toda parte.

Suponha que sua esfera seja a terra!

Imagine a Terra como sua esfera e um mapa-múndi plano criado a partir da forma esférica da Terra. Na maioria dos mapas do mundo, você vê que os países próximos aos polos estão ficando muito maiores do que na realidade, como a Islândia, que é 1/14 do continente africano na realidade, mas o mapa mostra os dois como iguais. Isso ocorre porque, quando omitimos uma dimensão, perdemos uma característica de nossas formas.

Diferentes sistemas de projeção e seus resultados

Esta é uma projeção plana que não conserva distância, ângulos ou área. Os círculos vermelhos mostram a quantidade de exagero que é o produto dessa projeção.

Área Igual, veja a Islândia e a África neste e compare com o acima.

Os sistemas de projeção podem ser classificados pelo que preservam.

1. Área igual.
2. Ângulo igual que preserva a forma sem distorção (conforme).
3. Distância igual.
4. ......

As projeções conformes preservam as formas, mas a área não será preservada (a primeira foto acima). Este é o sistema de projeção mais famoso usado em muitas aplicações. Sua esfera é um retângulo aqui!

Portanto, você não pode dizer que uma esfera será sempre projetada em uma elipse. Como mencionado acima, uma esfera pode ser projetada em um retângulo (primeira forma) ou pode ser uma elipse, mas com características diferentes (ângulo igual, distância, forma, área - veja a figura a seguir), ou você também pode projetar uma esfera em uma cônica e abra a cônica para que você tenha uma torta.

Cada um dos sistemas de projeção acima pode ser aplicado com algoritmos iterativos ou diretos que podem ser encontrados na Internet. Não falei sobre a fórmula e as transformações porque você não perguntou. Embora eu deseje que você encontre esta resposta útil.

Nas projeções em perspectiva, eu digo que sim, apenas elipses serão produzidas a partir de esferas

Cortar uma cônica com um plano horizontal cria um círculo.

Cortar com um plano oblíquo cria um chanfro que seria uma elipse ou uma hipérbole, dependendo do ângulo de corte, e quando esse ângulo inclinar para ser vertical, criará uma parábola (figura a seguir).

Talvez isso seja óbvio, mas dê uma olhada em suas equações.

Por simplicidade, assumi que todas as geometrias são centradas na origem.

Equações:

$x^2+y^2=r^2$

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$

$y^2=4ax$

Morfologia:

Uma elipse tem dois focos obviamente. Um círculo como um tipo especial de elipse também tem dois focos, mas eles são coincidentes. Uma hipérbole, no entanto, é um espelho do eixo de suas reticências iguais e possui dois focos também. Uma parábola tem um foco, mas na verdade tem dois porque o segundo está no infinito: quando o plano de corte se inclina a 90 graus (ângulo de sustentação), o segundo foco fica no infinito.

Conclusão

Como você vê todas as elipses, no entanto, você pode nomeá-las de maneira diferente para descrever casos especiais, mas se você for implementá-las em um jogo, precisará assumir uma equação de elipse e isso é suficiente. Não sei dizer qual de vocês está certo, você ou seu amigo, porque ambos podem estar certos.

O raciocínio de SimonF basicamente me convenceu, mas eu decidi fazer uma verificação de sanidade. Carreguei um nível UE4 que possui algumas esferas, como esta:

Ajustei a FOV da câmera em até 160 graus para gerar muita distorção de perspectiva e posicionei-a para que a esfera ficasse perto do canto da imagem:

Então eu levei isso para o Inkscape e usei a ferramenta elipse para desenhar nele:

Surpresa! É um ajuste perfeito!

Não há parábolas ou hipérboles formadas ao cortar uma esfera uma vez. Também não há elipses, exceto no caso especial que é um círculo. O resultado é sempre um círculo. Se você projetar a esfera em um plano inclinado, obtém uma elipse