Precisa de uma fonte respeitável para a fórmula da forma do horizonte da Terra

O que estou pedindo

Sublinho que não estou pedindo a fórmula - eu sei a fórmula e como derivá-la. Várias versões diferentes são reproduzidas perto do final do post. De fato, alguém não apenas o derivou, mas também apresentou uma das derivações aqui .

O que eu preciso é de uma fonte respeitável para a fórmula, para que, por exemplo, alguém possa colocá-la na Wikipedia sem violar sua proibição de relatar pesquisas originais. [As pessoas realmente tentaram ... Mas o artigo relevante tem um editor muito consciente que excluiu a seção com base em pesquisa original ... e, infelizmente, o editor está correto, então não há muito sentido em tentar para combater.]

A razão pela qual estou postando na computação gráfica stackexchange

Uma vez que alguém aqui pode ter modelado a aparência da Terra em órbita, talvez ele ou ela saiba se essa fórmula (ou, mais provavelmente, alguma generalização dela) é publicada em algum livro, diário ou processo de conferência ou anotações de classe etc.

Eu fiz o "devido googling"

Por favor, entenda que não estou pedindo a ninguém que procure a resposta em meu nome. Já fiz muitos de já pesquisando, e só estou postando aqui como um último recurso. Minha esperança (rebuscada) é que alguém aqui simplesmente conheça uma referência logo de cara; se não ... bem, espero que pelo menos você tenha gostado da linda foto abaixo (se é o que digo, com plena consciência de que estou conversando com pessoas interessadas em computação gráfica de todas as coisas) antes de passar para maior e melhor coisas.

Duas fontes que se aproximam

1. DK Lynch, "Discernindo visualmente a curvatura da Terra", Applied Optics vol. 47, H39 (2008). Está disponível gratuitamente aqui . Infelizmente, em vez de fazê-lo da maneira certa (o que não é tão difícil), o autor optou por um hack, que (a) eu não entendo completamente e (b) que não concorda com o que eu sei ser a fórmula correta.

2. R. Hartley e A. Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, 2ª ed. (Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 2004). No segundo. 8.3, "Ação de uma câmera projetiva em quadricíclicos", lemos :

Suponha que o quadriculado é uma esfera, então o cone de raios entre o centro da câmera e o quadriculado é circular direito, ou seja, o gerador de contorno é um círculo, com o plano do círculo ortogonal à linha que une a câmera e os centros da esfera. Isso pode ser visto a partir da simetria rotacional da geometria sobre esta linha. A imagem da esfera é obtida pela interseção do cone com o plano da imagem. É claro que esta é uma seção cônica clássica, de modo que o contorno aparente de uma esfera é cônico.

Em princípio, isso seria exatamente o que é necessário, se apenas um pouco mais de informação fosse incluída - pelo menos uma expressão para a excentricidade da cônica em função da distância da esfera e do raio da esfera (no caso quando o plano da imagem é perpendicular a uma geratriz do cone, como é o caso quando a câmera pinhole é direcionada para um ponto no horizonte).

Detalhes sobre a fórmula para a qual preciso de uma referência acadêmica

Assumimos uma Terra perfeitamente esférica e perfeitamente lisa, sem atmosfera. Apontamos uma câmera ideal para o horizonte e, usando uma projeção central direta, calculamos a forma da imagem do horizonte na parte traseira da câmera (ou seja, a forma que ela terá no filme - o "plano do filme") . Aqui está um gráfico (feito no Asymptote , para os interessados) que deve deixar isso mais claro:

Como vimos acima, a imagem do horizonte é uma parte de uma seção cônica. Seja a excentricidade da cônica; a derivação que mencionei acima usa um parâmetro k , que é apenas a excentricidade inversa: k = 1 / ε . A própria excentricidade é dada como ε = 1 / $\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$ , ondeε=H/Ré a razão entre a alturahdo orifício acima da superfície da terra e o raio da TerraR. [Em vez de usarϵ, que é a razão entre aaltitudeeR, pode ser útil usarη, a razão entrea distância do orifício e o centro da Terra,h+R, e o raio da Terra:η=(R+h)/R=$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$$h+R$ . Em termos de η , temos ε = 1 / $\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$ ].$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

A distância do orifício (ponto no gráfico) ao plano do filme é considerada uma unidade de comprimento.$P$

O eixo no plano do filme é escolhido para ser paralelo à linha que une o centro da Terra C (não mostrado na imagem) e o ponto no horizonte (rotulado como V na imagem) no qual a câmera é treinada. Essa escolha é bem definida porque a linha C V deve ser paralela ao plano do filme. A razão para isso é que tanto C V como o plano do filme são perpendiculares à linha de visão P V (a linha que une P e V ). E isso ocorre porque 1. a linha P V é tangente à Terra em V , portanto perpendicular a$y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$ , e 2. P V é perpendicular ao plano da película, porque a câmara é formado pelo V . O x eixo é, naturalmente, perpendicular ao y eixo e reside no plano da película, e a origem é escolhida como a projecção do ponto de V .$CV$$PV$$V$$x$$y$$V$

Com essas definições fora do caminho, estamos prontos para escrever uma representação da seção cônica que é a imagem do horizonte da Terra. Isso pode ser escrito de várias maneiras, algumas das quais são fornecidas abaixo. O que eu preciso é de uma referência respeitável para qualquer uma dessas fórmulas ou para uma fórmula equivalente a elas.

1. A fórmula explícita dada na derivação mencionada acima

A derivação que mencionei acima fornece isso como a versão final:

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

Vamos representar isso de duas maneiras adicionais.

2. Expressão em termos da equação canônica de uma seção cônica

Nesse caso, a equação assume a seguinte forma :

,$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$

onde, no nosso caso, .$\mu=\varepsilon$

A vantagem da forma canônica é que ela pode lidar com todas as cônicas em pé de igualdade, inclusive em particular o caso da parábola, . Na formulação `` padrão '' (veja abaixo), o caso da parábola só pode ser tratado com o limite ε → 1 .$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

Detalhes: a fórmula acima é válida no caso de um cone circular direito, cujos lados subtendem um ângulo de , sendo cruzados --- a uma distância d do vértice do cone --- por um plano com um ângulo ω relativo ao eixo do cone. (Para esclarecer: d é a distância do vértice do cone até o ponto da elipse que é o mais próximo do vértice do cone; esse ponto é sempre uma das extremidades do eixo principal da elipse). Nesse caso geral, a excentricidade é dada como ε = cos ω / cos θ , enquanto μ = d ( ε - cos |$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$ .$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

Nos termos do gráfico acima: é a distância de P ao plano do filme (ou seja, a distância ao longo da linha vermelha pontilhada); θ é o ângulo entre a linha vermelha pontilhada e o eixo do cone (que é a linha que une P e o centro da Terra - a extensão da linha preta rotulada h no gráfico); o ângulo ω é o ângulo entre o eixo do cone e o plano do filme.$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

$\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3. Expressão em termos da `` forma padrão '' de uma seção cônica

Este formulário é talvez o mais familiar:

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$

Está relacionado aos parâmetros que entram na equação canônica (ver 2., acima) da seguinte maneira:

$x_{0}=0$

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

4. Expressão em termos de uma curva paramétrica

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

$\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

Para saber como alguém pode usar essas fórmulas, consulte isso .

Em conclusão...

Alguém viu as fórmulas acima em alguma fonte respeitável, possivelmente no contexto de modelar a aparência da Terra a partir do espaço? Em caso afirmativo, você poderia me informar qual era essa fonte?

Obrigado!

A curva que você está procurando é apenas a interseção de um avião (a parte traseira da câmera) e um cone circular direito. Esta não é realmente uma pergunta sobre a Terra, nem a visão dos planetas do espaço; é simplesmente uma geometria de coordenadas 3D simples. Para encontrar uma referência, recomendo pesquisar por "interseção de um plano e um cone" ou "seção plana de um cone" ou "seção plana de quadriculado", algo assim.

Eu espero que você possa encontrar as fórmulas relevantes (e derivações) em qualquer texto padrão na geometria de coordenadas 3D. Alguns lugares prováveis ​​são:

• Salmão - Um tratado sobre a geometria analítica de três dimensões
• Somerville - Geometria Analítica de Três Dimensões
• Snyder e Sisam - Geometria Analítica do Espaço

Todos esses são livros bastante antigos, e você pode ter problemas para encontrá-los.

Você também pode tentar perguntar no Math.StackExchange.

Chamar a derivação de "pesquisa original" parece absurdo para mim. É um problema de lição de casa do ensino médio em geometria analítica.