Movendo cada ponto de uma superfície na direção da normal correspondente

Então, vamos supor que eu tenha uma superfície lisa e fechada convexa. Estou movendo cada ponto dele em uma direção normal por algum fator constante (esse fator é o mesmo para todos os pontos na superfície).

Posso substituir esta operação por Scaling uniforme ou não uniforme + Traduzir?

As superfícies resultantes serão matematicamente idênticas nesses casos?

Por exemplo, quero transformar esta superfície (vista lateral):

Não, isso não pode ser modelado por escala (não uniforme). É bastante fácil construir um contra-exemplo:

A questão é que a quantidade que uma seção da curva / superfície cresce depende de sua curvatura, não de sua orientação no espaço. Observe aqui que o arco circular cresce uniformemente em todas as direções (por um fator de$3/2$) enquanto o comprimento dos segmentos horizontais permanece inalterado $2$.

Obviamente, se sua superfície não é apenas convexa, mas também possui curvatura constante, é apenas um arco circular e, para os círculos, sua transformação é equivalente a uma escala uniforme. Provavelmente, você também pode construir curvas de curvatura variável, onde sua transformação corresponde a uma escala não uniforme, mas para superfícies convexas gerais, esse não é o caso.