O que são transformações afins?

O que são Tranformações Afins? Eles se aplicam apenas a pontos ou a outras formas também? O que significa que eles podem ser "compostos"?

Uma transformação afim é uma transformação linear + um vetor de conversão.

$$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$$

Pode ser aplicado a pontos individuais ou a linhas ou mesmo curvas de Bezier. Para linhas, ele preserva a propriedade de que linhas paralelas permanecem paralelas. Para curvas de Bezier, preserva a propriedade do casco convexo dos pontos de controle.

Multiplicado, produz 2 equações para obter um par de coordenadas "transformadas" partir do par original e uma lista de constantes . $(x', y')$$(x, y)$$(a, b, c, d, e, f)$

$$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$$

Convenientemente, a transformação Linear e o vetor Translação podem ser reunidos em uma matriz 3D que pode operar sobre coordenadas homogêneas 2D.

$$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$$

O que produz as mesmas 2 equações acima.

Muito convenientemente , as próprias matrizes podem ser multiplicadas juntas para produzir uma terceira matriz (de constantes) que realiza a mesma transformação que o 2 original faria em sequência. Simplificando, as multiplicações de matriz são associativas.

$$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$$

Como alternativa, você pode considerar alguns tipos básicos de transformação e compor qualquer transformação mais complexa combinando-as (multiplicando-as juntas).

Transformação de identidade

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Dimensionamento

$$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

* Nota: uma reflexão pode ser realizada com parâmetros de escala ou .$(S_x, S_y) = (-1,1)$$(1,-1)$

Tradução

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$$

Inclinar x por y

$$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Inclinar y por x

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Rotação

$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

[Observe que eu mostrei o formulário de Matrix aqui que aceita um vetor de linha à esquerda . A transposição dessas matrizes funcionará com um vetor de coluna à direita.]

Uma matriz composta exclusivamente de redimensionamento, rotação e translação pode ser decomposta de volta nesses três componentes .