Separação exponencial entre NFAs e DFAs na presença de sindicatos

Recentemente, uma pergunta interessante foi feita e, posteriormente, excluída.

Para um idioma comum , sua complexidade do DFA é o tamanho do DFA mínimo que o aceita e sua complexidade de NFA é o tamanho do NFA mínimo que o aceita. É sabido que existe uma separação exponencial entre as duas complexidades, pelo menos quando o tamanho do alfabeto é ilimitado. De fato, considere o idioma sobre o alfabeto consiste em todas as palavras que não contêm todos os símbolos. Usando o teorema de Myhill-Nerode, é fácil calcular a complexidade do DFA . Por outro lado, a complexidade da NFA é apenas (se vários estados iniciais são permitidos; caso contrário, é ).$L$L n { 1 , … , n $L_n$$\{1,\ldots,n\}$2 n n n + $2^n$$n$$n+1$

A questão suprimido em causa o DFA cobrindo complexidade de uma linguagem, que é o mínimo tal que pode ser escrita como a união (não necessariamente disjuntos) de idiomas de complexidade DFA no máximo . O DFA que cobre a complexidade de é apenas .C G C G N$C$$L$$C$$L_n$$2$

Existe uma separação exponencial entre a complexidade do NFA e o DFA que cobre a complexidade?

Considere o idioma , onde é um novo símbolo. A complexidade NFA de é n . Mostraremos que sua complexidade de cobertura do DFA é 2 ^ n .M n = ϵ + ( L n # ) ∗ L n # M n n 2 $M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$$\#$$M_n$$n$$2^n$

Seja $A$ um DFA que aceite algum idioma $L(A) \subseteq M_n$ , com a função de transição $q_A$ . Chame um estado $s$ viável se houver alguma palavra $w$ tal que $q_A(s,w)$ é um estado de aceitação. Para quaisquer dois estados de não falha $s,t$ , deixe

$$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$$ Não é difícil verificar se todas as palavras $w \in L(A)$ podem ser escritas como $w = w_1\# \cdots \#w_l$ que $w_i \in A_{s_i,t_i}$ para algumas opções viáveis s_i, t_i$s_i,t_i$ .

Suponha que , onde cada é um DFA. Seja a estrutura gerada por todos os idiomas . Podemos ver como uma linguagem sobre , o espaço entre quaisquer dois símbolos correspondentes a . Sob esse ponto de vista, corresponde a .M n = ⋃ N i = 1 L ( A i ) A i P A i s , t L ( A i ) L P ( A i ) P ∗ # M n P $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$$A^i$$P$$A^i_{s,t}$$L(A^i)$$L_P(A^i)$$P^*$$\#$$M_n$$P^*$

Chame universal se, para alguns , for o caso de todo existir modo que . Afirmamos que alguns são universais. Caso contrário, cada contém no máximo palavras de comprimento . No total, o deve conter todas as palavras de comprimento , portanto , que é violado por suficientemente grande .$L_P(A^i)$ $x \in P^*$$y \in P$$z \in P^*$$xyz \in L_P(A^i)$$L_P(A^i)$$L_P(A^i)$$(|P|-1)^l$$l$$L_P(A^i)$$|P|^l$$l$$|P|^l \leq N (|P|-1)^l$$l$

Suponha que seja universal e escreva por questões de brevidade. Seja o prefixo correspondente e seja uma palavra correspondente a ele. Assim, para cada existe algum tal que .$L_P(A^i)$$A = A^i$$x' \in P^*$$x \in M_n$$y \in L_n$$z_y \in M_n$$x\#y\#z_y \in L(A_i)$

Para um subconjunto , deixe consistir nas letras em escritas em ordem. Afirmamos que as palavras são inequivalent para a relação Myhill-Nerode de . De fato, suponha e encontre algum (sem perda de generalidade). Então enquanto . Portanto, deve ter pelo menos estados.$S \subseteq \{1,\ldots,n\}$$y_S$$S$$x\#y_S$$A$$S \neq T$$a \in S \setminus T$$x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$$x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$$A$$2^n$