Essa linguagem é definida usando primos duplos regulares?

Deixei

$\qquad L = \{a^n \mid \exists_{p \geq n}\ p\,,\ p+2 \text{ are prime}\}.$

é regular?$L$

Esta questão parecia suspeita à primeira vista e eu percebi que ela está conectada à conjectura primária dupla . Meu problema é que a conjectura ainda não foi resolvida, portanto, não tenho certeza de como proceder para decidir se a linguagem é regular.

Se a conjectura de gêmeos primos for verdadeira, então , que é regular. Se a conjectura de primo gêmeo não for verdadeira, existem finitos primos gêmeos; de fato, existe um maior par de primos gêmeos . Nesse caso, , uma linguagem finita. Em qualquer um dos casos, você obtém uma linguagem comum, então acho que é seguro concluir que é uma linguagem comum ... só não saberemos qual é até que a conjectura primária gêmea seja resolvida. { p , p + 2 } L = { a n | n < p + 1 } $L = a^{*}$$\{p, p + 2\}$$L = \{a^{n} | n < p + 1\}$$L$

Sim, este idioma é regular. A conjectura de gêmeos primos não precisa ser resolvida para ver isso:

Suponha que a conjectura de primo gêmeo seja verdadeira, ou seja, para qualquer , podemos encontrar um primo p ≥ n tal que p + 2 seja primo. Então, em particular, L = { a n | n ∈ N } , pois a condição é sempre verdadeira. Este último idioma é expresso por um * e, portanto, regular.$n$$p \geq n$$p+2$$L = \{ a^n | n \in N \}$$a^*$

Suponha que a conjectura de gêmeos primos seja falsa. Então existe algum tal que existe algum primo p tal que p + 2 é primo, e para todo n > N , não existe nenhum p tal que p + 2 seja primo. Nesse caso, L = { a n | n ≤ N } , que é uma linguagem finita e, portanto, regular.$N$$p$$p+2$$n > N$$p$$p+2$$L = \{ a^n | n \leq N \}$

Por distinção entre casos, concluímos que é regular.$L$

É regular em ambos os casos.

• $L=\{a^n:n\geq 0\}=L(a^*)$
• $L$