Derivando as equações de Sobel de derivativos

Muitos sites fornecem aos operadores Sobel a máscara de convolução para suavizar uma imagem. No entanto, não encontrei um único site que descreva como você pode derivar os operadores de primeiras derivadas parciais. Se alguém puder explicar a derivação, eu apreciaria muito.

O operador Sobel é uma aproximação da derivada na dimensão X seguida por um operador de suavização simples na dimensão Y. (Ou derivada na dimensão Y e depois suavizada em X).

Considere um sinal unidimensional $f(t)$. A derivada de$f(t)$, $d f(t) / dt$ pode ser escrito como:

$$\lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{f(t+\Delta) - f(t-\Delta)}{2\Delta}$$

Isso é chamado de fórmula de diferença centralizada .

Mas, com um sinal discreto, o menor você tem à sua disposição é a distância entre as amostras; portanto, você a usa como uma aproximação do limite.$\Delta$

Podemos ver o quão ruim (ou boa) é uma aproximação observando o que ela faz com um sinal exponencial complexo . A derivada verdadeira daria . A aproximação fornece tão extremamente preciso com frequências baixas ( perto de 0), mas cada vez mais impreciso à medida que aproxima da frequência Nyquist ($e^{\omega i t}$$\omega i e^{\omega i t}$

$$\frac{e^{\omega i (t+1)} - e^{\omega i (t-1)}}{2} = \frac{e^{\omega i}e^{\omega i t}-e^{-\omega i}e^{\omega i t}}{2} = \frac{e^{\omega i} - e^{-\omega i}}{2}e^{\omega i t} = i \sin(\omega)e^{\omega i t}$$ $\omega$$\omega$$\omega \rightarrow \pi$) É o melhor que você fará com três amostras. Ele também tem a vantagem de atenuar demais a resposta de alta frequência, em vez de amplificar demais.

Agora vamos suavizar a dimensão Y. Queremos algo que use apenas 3 pontos, e o melhor que você obterá é . Este filtro tem resposta de frequência: que transita sem problemas da baixa frequência de passagem para a alta atenuante.$\frac{1}{4}f(t-\Delta) + \frac{1}{2}f(t) + \frac{1}{4}f(t+\Delta)$

$$\frac{1}{4}e^{\omega i (t - \Delta)} + \frac{1}{2}e^{\omega i t} + \frac{1}{4}e^{\omega i (t + \Delta)} = \frac{1}{2}(1 + \frac{e^{-\omega i \Delta}+e^{\omega i \Delta}}{2})e^{\omega i t} = \frac{1}{2}(1 + \cos \omega)e^{\omega i t}$$

Portanto, envolva a aproximação derivada na dimensão X com a mais suave na dimensão Y e você obtém o kernel:

$$\frac{1}{8} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right].$$