Computando com eficiência o menor número inteiro com n divisores

Para resolver esse problema, observei primeiro que

$$\phi(p_1^{e_1} \space p_2^{e_2} \cdots \space p_k^{e_k}) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k +1)$$

Onde $\phi(m)$ é o número de divisores (não necessariamente primos) de $m$ . Se $m$ é o menor número inteiro tal que $\phi(m) = n$ , então

$$\phi(m) = n$$ $$(e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k +1) = n$$

Agora devemos escolher $e_i$ tal que $\prod_{i} p_i^{e_i}$ é mínima. As opções para $p$ são triviais - elas são apenas os primos em ordem crescente.

No entanto, meu primeiro pensamento para escolher $e_i$ estava incorreto. Eu pensei que você poderia simplesmente fatorar $n$ , classificar os fatores em ordem decrescente e subtrair 1. Na maioria das vezes isso funciona bem, por exemplo, o menor número inteiro com $n = 15$ divisores é:

15 = ( 4 + 1 ) ( 2 + 1 ) m = 2 4 3 2 =

$$15 = 5 \cdot 3$$ $$15 = (4 + 1)(2 + 1)$$ $$m = 2^4 3^2 = 144$$

Mas isso está incorreto para :$n = 16$

16 = ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) m = 2 1 3 1 5 1 7 1 =

$$16 = 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2$$ $$16 = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^1 3^1 5^1 7^1 = 210$$

Considerando que a resposta correta é:

m = 2 3 3 1 5 1 =

$$16 = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^3 3^1 5^1 = 120$$

Portanto, é claro que às vezes precisamos mesclar fatores. Nesse caso, porque . Mas não vejo exatamente uma estratégia de fusão limpa e direta. Por exemplo, pode-se pensar que devemos sempre nos unir à potência 2 , mas isso não é verdade:$7^1 > 2^2$$2$

m = 2 96 3 1 5 1 7 1 11 1 > 2 96 3 3 5 1 7

$$1552 = (96 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^{96} 3^1 5^1 7^1 11^1 > 2^{96} 3^3 5^1 7^1$$

Não consigo pensar imediatamente em um exemplo, mas meu instinto diz que algumas abordagens gananciosas podem falhar se fundirem os poderes errados primeiro.

Existe uma estratégia ótima e simples para mesclar esses poderes para obter a resposta correta?

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$n = 3072$

$$2^2 3^1 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1 29^1 31^1$$

$$2^3 3^2 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1 29^1$$

$$2^5 3^3 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1$$

No entanto, a solução ideal é:

$$2^7 3^3 5^2 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1$$

Aqui está uma solução, com base nos meus comentários acima. Não afirmo que isso seja ideal.

$T(n,m)$$n$$m$

$$\begin{align} T(n, 1) &= 2^{n-1}\\ T(2^m, m) &= p_1p_2\cdots p_m \end{align}$$

E também temos a recorrência:

$$\begin{equation} T(n,m) = \min_{d|n} [T\left(\frac{n}{d}, m-1\right)\cdot p_m^{d-1}] \end{equation}$$

$$\begin{equation} \min_{1\le i\le\lceil\log(n)\rceil} T(n, i) \end{equation}$$

Para esse fim, aqui está um código Python, que concorda com todos os números que você forneceu acima. Observe que ele trabalha com os logaritmos para manter os números menores: portanto, o número inteiro real que você procura é round(2**smallest(n)).

import functools
import itertools
import math

# All primes less than 100.
PRIMES = [
  2, 3, 5, 7, 11,
  13, 17, 19, 23, 29,
  31, 37, 41, 43, 47,
  53, 59, 61, 67, 71,
  73, 79, 83, 89, 97,
]

LOG_PRIMES = [math.log2(p) for p in PRIMES]

def smallest(n):
  max_factors = math.ceil(math.log2(n))
  min_so_far = float('Infinity')
  factors = factorize(n)
  memo = {}
  for i in range(1, max_factors+1):
    t = T(n,i, factors, memo)
    if 0.0 < t < min_so_far:
      min_so_far = t
  return min_so_far

def T(n, m, factors=None, memo=None):
  if memo is None:
    memo = {}
  if n < 2 or m < 1:
    return 0
  elif m == 1:
    # Everything on the smallest prime.
    return (n-1) * LOG_PRIMES[0]
  elif n < 2**m:
    return 0
  elif n == 2**m:
    # Product of first m primes, in log.
    return sum(LOG_PRIMES[:m])
  elif (n,m) in memo:
    return memo[(n,m)]

  if factors is None:
    factors = factorize(n)
  if len(factors) < m:
    return 0

  smallest = float('Infinity')  
  for factor_list in powerset(factors):
    divisor = product(factor_list)
    first = T(divisor, m-1, factor_list, memo)
    # No such product.
    if first < 1.0:
      continue
    second = (n/divisor - 1) * LOG_PRIMES[m-1]
    total = first + second
    if total < smallest:
      smallest = total

  memo[(n,m)] = smallest
  return smallest

def product(nums):
  return functools.reduce(lambda x,y: x*y, nums, 1)

def factorize(n):
  prime_factors = []
  for p in PRIMES:
    while n%p == 0:
      n //= p
      prime_factors.append(p)
    if n == 1:
      break
  return prime_factors

def powerset(lst):
  # No empty set.
  return itertools.chain.from_iterable(itertools.combinations(lst, r) 
                                       for r in range(1, len(lst)+1))

$2^a·3^b·5^c...$

$2^7·3$$2^3·3^3$$2^3·3·5$$2·3·5·7$$2^3·3·5 = 120$

$2^{pq-1}$$2^{p-1}·3^{q-1}$

$2^{ab-1}$$2^{ab-1} > 2^{a-1}·x^{b-1}$$2^3$$2^3 < 2·7$