Verifique se existe apenas um caminho simples no gráfico entre os nós x e y`

Digamos que demos um gráfico simples e não direcionado com nós e arestas bidirecionais. Para e , queremos verificar se no gráfico existe apenas um caminho simples entre eles.$G$$N$$M$$x$$y$

O que eu estava pensando era que deveríamos encontrar todos os ciclos no gráfico e executar bfs de a , se o caminho não se mover pelos vértices que estão em algum ciclo, haverá apenas um caminho e, caso contrário, haverá são mais.$x$$y$

Existe alguma outra maneira de verificar isso?

A sugestão de Rafael de usar o caminho mais curto 2 é correta, mas mais complexa do que o necessário.

Sua abordagem é inviável, o número de ciclos é fatorial no tamanho da entrada.

Aqui está um esboço de uma solução no tempo $O(|V|+|E|)$.

Encontre um caminho $p_1, \dots p_n$ de $x$ para $y$ no $O(|V|+|E|)$. Se esse caminho não existir, responda$\textsf{NO}$. Caso contrário, marque todos os nós no caminho. Esse caminho é realmente único se, e somente se, nenhum nó nesse caminho atingir um nó que vem depois dele. A partir do primeiro nó do caminho$p_1$, escolha uma borda aleatória saindo de $p_1$ diferente daquele que o conecta $p_2$e inicie um DFS a partir daí. Se você alcançar um nó marcado, responda$\textsf{NO}$, se você nunca alcançar um nó marcado, recorte esse ramo do gráfico e escolha outra aresta de saída aleatória. Continue de maneira semelhante até que todas as bordas de saída estejam esgotadas e comece novamente com o seguinte nó até chegar$p_n$. Se você concluir o procedimento sem nunca responder$\textsf{NO}$, responda $\textsf{YES}$. Todo o procedimento tem o custo de um DFS,$O(|V|+|E|)$, portanto, o tempo total é $O(|V|+|E|)$.

Execute um algoritmo de caminho k-menor com$k=2$ e observe se falha.

Se existir um caminho da origem $x$para algum ciclo, nem sempre contradiz a existência de um único caminho simples. Veja o seguinte exemplo:

Aqui existe um ciclo que pode ser alcançado a partir de $x$ e $y$. Este problema pode ser resolvido em$O(|V| + |E|)$.

Você pode executar o BFS para encontrar a menor distância $x$ para cada vértice no gráfico e o mesmo de $y$. Um nó pertence ao caminho mais curto de$x$ para $y$ se e apenas se

$$distance(x,u) + distance(u,y) = distance(x,y)$$ Agora, para verificar se existe um único caminho, verifique se os nós válidos no caminho mais curto a cada distância ocorrem no máximo uma vez. Ou seja, se houver pelo menos dois nós que pertencem a um caminho mais curto de$x$ para $y$ com a mesma distância para $x$então, há pelo menos dois caminhos mais curtos, caso contrário, ele é único. Você pode fazer todo o pós-processamento em$O(|V|)$.

Realize uma pesquisa profunda a partir de $x$e anote as arestas de acordo com a arvore, a traseira ou a cruz (veja, por exemplo, aqui ).

Há mais de um caminho simples de $x$ para $y$ se e somente se houver (pelo menos) um nó no caminho de $x$ para $y$ usando apenas arestas de árvore (ou seja, o caminho encontrado pelo DFS) que é incidente em uma aresta traseira ou transversal.