Gerando um labirinto de defesa de torre, também conhecido como Encontrando os K nós mais vitais (“interdição de sentido idêntico”) em um gráfico não ponderado

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Em um jogo de defesa de torre, você tem uma grade NxM com um início, um acabamento e várias paredes.

Image1

Os inimigos seguem o caminho mais curto do início ao fim sem passar por nenhuma parede (eles geralmente não são restritos à grade, mas por uma questão de simplicidade, digamos que sim. Em ambos os casos, eles não podem se mover através de "orifícios" na diagonal)

Image2

O problema (pelo menos para esta pergunta) é colocar até K paredes adicionais para maximizar o caminho que os inimigos devem seguir, sem bloquear completamente o início do final. Por exemplo, para K = 14

Image3


Eu determinei que isso é o mesmo que o problema "k nós mais vitais":

Dado um gráfico não direcionado G = (V, E) e dois nós s, t ∈ V, os nós mais vitais são os nós cuja remoção maximiza o caminho mais curto de s a t.

Khachiyan e cols. 1 mostraram que, mesmo que o gráfico não seja ponderado e bipartido, até o comprimento do caminho máximo mais curto dentro de um fator de 2 é NP-Hard (dados k, s, t) .

Porém, nem tudo está perdido: mais tarde, L. Cai e cols. 2 mostraram que, para "gráficos de permutação bipartidos", esse problema pode ser resolvido em tempo pseudo-polinomial usando o "modelo de interseção".

Não consegui encontrar nada especificamente em gráficos de grade não ponderados e não consigo imaginar como os "gráficos de permutação bipartidos" estão relacionados, se é que existem. Houve alguma pesquisa publicada relacionada ao meu problema - talvez eu esteja procurando um lugar completamente errado? Mesmo um algoritmo de aproximação pseudo-polinomial decente funcionaria bem. Obrigado!


1 L. Khachiyan, E. Boros, K. Borys, K. Elbassioni, V. Gurvich, G. Rudolf e J. Zhao "Sobre problemas de interdição de caminho curto: interdição limitada total e limitada por nós", Teoria de sistemas de computador 43 ( 2008), 2004-233. link .
2 L. Cai e J. Mark Keil, "Encontrando os k nós mais vitais em um gráfico de intervalo". link .

Nota: esta pergunta é um acompanhamento da minha pergunta sobre stackoverflow encontrada aqui .

BlueRaja - Danny Pflughoeft
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Um esclarecimento: você não tem permissão para remover um conjunto de nós que desconectariam completamente do início ao fim?
David Eppstein
@ David: Sim editado, desculpe pela confusão. Ainda deve haver uma solução.
BlueRaja - Danny Pflughoeft

Respostas:

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sfsfnmm-(n-1)sf(n-1)eu+(n-2)sfsf

David Eppstein
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Boa redução!
Marzio De Biasi
Claro, foi o que eu imaginei, dadas as referências na pergunta; mas ainda preciso de uma solução e esperava algo melhor do que o simples "usar algoritmos genéticos / de recozimento / similares". Minha pergunta é: existe (como no caso do gráfico de permutação bipartida acima) alguma solução pseudo-polinomial conhecida, ou mesmo uma aproximação meio decente que garanta alguma ligação?
BlueRaja - Danny Pflughoeft
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O(n/poeuyeuog)Ω(n1-ϵ)
Não sou capaz de seguir essa trilha da lógica, mas aceitarei sua palavra e darei uma marca de seleção muito triste :( ✓. Obrigado por dedicar um tempo para pensar e responder a essa pergunta, professor Eppstein!
BlueRaja # Danny Pflughoeft
Um ano e muito aprendizado (da minha parte) depois, agora entendo e concordo com essa prova. Obrigado novamente :)
BlueRaja - Danny Pflughoeft