Seja um gráfico. Seja k ≤ | V | ser um número inteiro. Deixe ó k ser o número de borda induzida subgráficos de L tendo k vértices e um número ímpar de arestas. Vamos E k ser o número de borda induzida subgráficos de L tendo k vértices e um número par de arestas. Seja Δ k = O k - E k . O delta ainda TDO problema consiste em computar Δ k , dada e k .
Questões
- É possível calcular em tempo polinomial? Qual é o algoritmo mais conhecido para computá-lo?
- E se for 3-regular?
- E se for bipartido 3-regular?
- E se for um plano bipartido 3-regular?
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Giorgio Camerani
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Respostas:
O problema ODD EVEN DELTA é # P-difícil, mesmo em gráficos planares bipartidos 3-regulares.
Deixe ser o conjunto de cobertura de vértices de um grafo geral L . Então, assumindo que G não tenha vértices isolados, a seguinte equação é válida (consulte o artigo acima para obter a prova):C G G
A contagem de capas de vértices é # P-completa, mesmo em gráficos planares bipartidos tridimensionais, e isso pode ser feito com um número linear de chamadas para um oráculo ODD EVEN DELTA.
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ATUALIZAR:
A estrutura de Holant é essencialmente uma soma exponencial sobre subgráficos de abrangência (ou seja, todos os vértices estão presentes no subgrafo, portanto, a soma está sobre os subconjuntos de arestas). Por outro lado, a versão atual da pergunta é sobre subgráficos induzidos por arestas.
Gráficos planares regulares
Deixe-me explicar como. Para mais detalhes do que eu forneço abaixo, consulte este documento .
O Holant é uma soma sobre atribuições (booleanas) às arestas. Nos vértices, há restrições de quem são as entradas para as arestas de incidentes. Para cada atribuição às arestas, usamos o produto de todas as restrições de vértices.
Seu requisito de que não haja vértices isolados é a restrição que não é atendida em um vértice específico se nenhuma de suas arestas incidentes for selecionada e será atendida se pelo menos uma aresta for selecionada. Essa restrição simétrica é denotada por [0,1,1,1], que gera 0 (isto é, não satisfeito) quando o número de entradas 1 é 0 (ou seja, nenhuma aresta de incidente no subgráfico) e gera 1 (isto é, satisfeito) quando o número da entrada 1 é 1, 2 ou 3 (ou seja, 1, 2 ou 3 arestas de incidentes no subgráfico).
Este problema bipartido de Holant é # P-difícil pelo Teorema 6.1 neste artigo . No entanto, esse teorema não é o mais fácil de aplicar. Em vez disso, considere o seguinte.
Então é fácil ver que esse problema é # P-difícil pelo Teorema 1.1 neste artigo .
Restringindo a gráficos bipartidos
Assim como sua pergunta anterior , o mesmo problema restrito a gráficos bipartidos é muito mais difícil de lidar e acredito que ainda seja um problema em aberto. Temos uma conjectura sobre os casos tratáveis (e vou verificar se o seu problema é um deles), mas acho que o seu problema ainda é difícil, mesmo quando restrito a gráficos bipartidos.
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