O problema ODD EVEN DELTA

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Seja um gráfico. Seja k | V | ser um número inteiro. Deixe ó k ser o número de borda induzida subgráficos de L tendo k vértices e um número ímpar de arestas. Vamos E k ser o número de borda induzida subgráficos de L tendo k vértices e um número par de arestas. Seja Δ k = O k - E k . O delta ainda TDO problema consiste em computar Δ k , dadaG=(V,E)k|V|OkGkEkGkΔk=OkEkΔk e k .Gk

Questões

  1. É possível calcular em tempo polinomial? Qual é o algoritmo mais conhecido para computá-lo?Δk
  2. E se for 3-regular?G
  3. E se for bipartido 3-regular?G
  4. E se for um plano bipartido 3-regular?G
Giorgio Camerani
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Qual é a sua motivação?
Tyson Williams
@TysonWilliams: Minha motivação é que, se a 1ª parte da 1ª pergunta tiver uma resposta afirmativa (mesmo apenas no caso planar bipartido 3-regular), haveria algumas conseqüências interessantes que mereciam uma exploração mais aprofundada. Se o algoritmo for subexponencial, ele ainda terá algumas consequências (menos interessantes, mas ainda assim merecendo mais exploração).
Giorgio Camerani
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Você pode ser mais específico? O que você quer dizer com "algumas consequências interessantes"? Como você encontrou esse problema em primeiro lugar?
Tyson Williams
@TysonWilliams: Poderíamos continuar essa conversa em particular, por e-mail?
Giorgio Camerani

Respostas:

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O problema ODD EVEN DELTA é # P-difícil, mesmo em gráficos planares bipartidos 3-regulares.

Deixe ser o conjunto de cobertura de vértices de um grafo geral L . Então, assumindo que G não tenha vértices isolados, a seguinte equação é válida (consulte o artigo acima para obter a prova):CGG

|C|=2|V|k=2|V|Δk2|V|k

A contagem de capas de vértices é # P-completa, mesmo em gráficos planares bipartidos tridimensionais, e isso pode ser feito com um número linear de chamadas para um oráculo ODD EVEN DELTA.

Giorgio Camerani
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ATUALIZAR:

k=|V|k

A estrutura de Holant é essencialmente uma soma exponencial sobre subgráficos de abrangência (ou seja, todos os vértices estão presentes no subgrafo, portanto, a soma está sobre os subconjuntos de arestas). Por outro lado, a versão atual da pergunta é sobre subgráficos induzidos por arestas.

|V|

Gráficos planares regulares

G

G

Pl-Holant([1,0,1]|[0,1,1,1]).

Deixe-me explicar como. Para mais detalhes do que eu forneço abaixo, consulte este documento .

O Holant é uma soma sobre atribuições (booleanas) às arestas. Nos vértices, há restrições de quem são as entradas para as arestas de incidentes. Para cada atribuição às arestas, usamos o produto de todas as restrições de vértices.

Seu requisito de que não haja vértices isolados é a restrição que não é atendida em um vértice específico se nenhuma de suas arestas incidentes for selecionada e será atendida se pelo menos uma aresta for selecionada. Essa restrição simétrica é denotada por [0,1,1,1], que gera 0 (isto é, não satisfeito) quando o número de entradas 1 é 0 (ou seja, nenhuma aresta de incidente no subgráfico) e gera 1 (isto é, satisfeito) quando o número da entrada 1 é 1, 2 ou 3 (ou seja, 1, 2 ou 3 arestas de incidentes no subgráfico).

GGn(1)n=1n(1)n=1

Este problema bipartido de Holant é # P-difícil pelo Teorema 6.1 neste artigo . No entanto, esse teorema não é o mais fácil de aplicar. Em vez disso, considere o seguinte.

T=[1101],

Pl-Holant([1,0,1]|[0,1,1,1])=Pl-Holant([1,0,1]T2|(T1)3[0,1,1,1])=Pl-Holant([1,1,0]|[1,0,0,1]).

Então é fácil ver que esse problema é # P-difícil pelo Teorema 1.1 neste artigo .

Restringindo a gráficos bipartidos

Assim como sua pergunta anterior , o mesmo problema restrito a gráficos bipartidos é muito mais difícil de lidar e acredito que ainda seja um problema em aberto. Temos uma conjectura sobre os casos tratáveis ​​(e vou verificar se o seu problema é um deles), mas acho que o seu problema ainda é difícil, mesmo quando restrito a gráficos bipartidos.

Tyson Williams
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Obrigado por dedicar seu tempo a esta pergunta e por fornecer uma resposta tão detalhada. Como não estou familiarizado com a estrutura de Holant, precisarei de algum tempo para analisá-la e metabolizar totalmente seu raciocínio (é claro que não tenho dúvidas sobre sua correção, é só que eu quero entender cada passo, não apenas a conclusão) . No que diz respeito à restrição bipartidária, sim, seria muito bom se você pudesse verificar se suas conjecturas de casos tratáveis ​​abrangem o meu problema.
Giorgio Camerani