Eu sou interessante no sistema de girassol e suas aplicações na ciência da computação.
Dado um universo e uma coleção de define é chamado de um sistema de k-girassol se para todos . E é chamado como o núcleo e é chamado de pétalas. k A i A i ∩ A j = Y i ≠ j Y A i - Y
Uma família de conjuntos é chamada -uniforme é todos os conjuntos que contém possuem elementos.s s
Erdos e Rado provou que para um familiar uniforme de conjuntos , deve conter um -óleos pétalas sistema se .F F k | F | > s ! ( k - 1 ) s
Este resultado é chamado lema do girassol e tem muitas aplicações importantes.
Erdos conjecturado que para cada existe uma constante tal que o limite superior deve ser cada família -uniform . (A conjectura de girassol)c k c s k s F
Infelizmente, essa conjectura ainda está aberta para .
Aqui está o que eu quero saber.
Se limitarmos o número de elementos no universo Suponha= . Então o problema é:| U | você
Dado um universo com elementos e família uniforme de conjuntos contendo os elementos em , supomos que podemos encontrar a sequência das constantes , , , ... de modo que toda família uniforme contenha um girassol sistema se e .s F U c 1 c 2 c 3 s F 3 | F | > c s i | U | = i
Além disso, se pudermos provar que a sequência converge para uma constante , parece que podemos provar a conjectura do girassol. c
Mas não consigo encontrar esse resultado. Pode ser que essa abordagem seja estúpida ou muito difícil.
Alguém poderia fornecer o estado da arte do lema do girassol e a conjectura (a versão finita também é aceitável).
Aqui estão alguns que eu posso fornecer. Há um capítulo no livro de Junka, The Extremal Combinatorics.
O documento acima é uma de suas aplicações (versão finita)
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Respostas:
a conjectura de girassol de Erdos parece ser muito difícil depois de mais de meio século (!) de abertura. você já listou algumas das melhores e mais recentes referências sobre o assunto que seriam muito difíceis de derrotar (artigo recente de Alons, livro de Juknas sobre combinatória). o artigo de Alon é altamente notável por vincular recentemente a conjectura a limites mais baixos na multiplicação de matrizes, uma área que viu avanços recentes nos resultados de Williams. [4]
você pode encontrar algum tratamento adicional, principalmente aplicações à teoria dos circuitos extremais (limites inferiores do circuito descobertos por Razborov e estendidos por outros), no excelente livro de Jukna [1].
uma referência recente notável / relacionada ao longo dessas linhas, aparentemente não tão amplamente conhecida ou citada até agora, é [2] por Rossman com uma nova direção de aplicação (gráficos aleatórios Erdos-Renyi sobre circuitos monótonos) e quem prova resultados estendidos e / ou mais fortes em girassóis "quase". o artigo é resultado de sua tese de doutorado [3]. do resumo do artigo
[1] Complexidade da função booleana, avanços e fronteiras
[2] A complexidade monótona de k-Clique em gráficos aleatórios (2009) Rossman
[3] Complexidade média de casos de detecção de panelinhas de Rossman
[4] Comentário sobre a descoberta da Williams no blog de limite inferior RJ Liptons Godels Lost Letter do produto da matriz
[5] Materiais detalhados sobre girassóis
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