Recentemente, houve duas perguntas feitas no cs.se que estavam relacionadas ou tiveram um caso especial equivalente à seguinte pergunta:
Suponha que você tenha uma sequência de números tais que Decomponha-o na soma de duas permutações, e , de , de modo que ,. n ∑ n i = 1 a i = n ( n + 1 ) . π σ 1 … n a i = π i + σ i
Existem algumas condições necessárias: se o estiver classificado de forma que devemos tera 1 ≤ a 2 ≤ … ≤ a n
No entanto, essas condições não são suficientes. Da resposta a esta pergunta de math.se que fiz, a sequência 5,5,5,9,9,9 não pode ser decomposta como a soma de duas permutações (pode-se ver isso usando o fato de que 1 ou 5 só podem ser emparelhado com 4).
Então, minha pergunta é: qual é a complexidade desse problema?
Respostas:
Não, você não pode identificar a soma de duas permutações no tempo polinomial, a menos que P = NP. Seu problema é NP-completo, pois a versão de decisão do seu problema é equivalente ao problema NP-completo - Correspondência Numérica com somas de destino:2
Entrada: Sequência de de números inteiros positivos, , para∑ n i = 1 a i = n ( n + 1 ) 1 ≤ a i ≤ 2 n 1 ≤ i ≤ numa1 1, um2, ... umn ∑ni = 1umaEu= n ( n + 1 ) 1 ≤ aEu≤ 2 n 1 ≤ i ≤ n
Pergunta: Existem duas permutações e tais que para ?ψ 2 ψ 1 ( i ) + ψ 2 ( i ) = a i 1 ≤ i ≤ nψ1 1 ψ2 ψ1 1( i ) + ψ2( i ) = aEu 1 ≤ i ≤ n
Na referência, uma variante severamente restrita de NUMERICAL 3-DIMENSIONAL MATCHING (RN3DM) demonstrou ser fortemente NP-completa.
Há uma redução fácil de RN3DM para Correspondência Numérica com problema de somas de destino: Dada uma instância de RN3DM. Construímos a instância correspondente criando paraa i = e - u i 1 ≤ i ≤ n2 umaEu= e - uEu 1 ≤ i ≤ n
W. Yu, H. Hoogeveen e JK Lenstra. Minimizar a produção em uma loja de fluxo de duas máquinas com atrasos e operações de unidade de tempo é difícil para NP . Journal of Scheduling, 7: 333–348, 2004
EDITAR 1º de outubro : Seu problema é chamado Soma de Permissão. Está listado desde 1998 em OPEN PROBLEMS IN COMBINATORIAL OPTIMIZATION por Steve Hedetniemi.
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Por outro lado, Marshall Hall mostrou que é possível identificar facilmente a diferença de duas permutações.
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